第1章 分数阶微积分基础

1.1 一些特殊函数的定义和性质

1.1.1 Gamma函数

1.1.2 Beta函数

1.1.3 Mittag-Leffler函数

1.2 Riemann-Liouville分数阶积分和分数阶导数

1.3 Riesz分数阶导数

1.4 Grünwald-Letnikov分数阶导数

1.5 Caputo分数阶导数

1.6 分数阶算子的Fourier变换和Laplace变换

参考文献

第2章 空间分数阶偏微分方程的差分方法

2.1 Grünwald-Letnikov／移位Grünwald-Letnikov近似

2.1.1 含有移位Grünwald-Letnikov近似的显式Euler方法

2.1.2 含有移位Grünwald-Letnikov近似的隐式Euler方法

2.1.3 含有移位Grünwald-Letnikov近似的Crank-Nicholson方法

2.2 移位Grünwald-Letnikov近似的稳定性和收敛性

2.2.1 含有移位Grünwald-Letnikov近似的显式Euler方法的稳定性和收敛性

2.2.2 含有移位Grünwald-Letnikov近似的隐式Euler方法的稳定性和收敛性

2.2.3 含有移位Grünwald-Letnikov近似的Crank-Nicholson方法的稳定性和收敛性

2.3 Riesz空间分数阶（对流－）扩散方程的二阶格式

2.3.1 外推技巧

2.3.2 Crank-Nicholson方法－分数阶中心差分格式

2.3.3 求解Riesz空间分数阶扩散方程／Riesz空间分数阶对流－扩散方程的加权格式

2.4 解空间分数阶偏微分方程L－算法

2.5 解空间分数阶偏微分方程分数阶行方法

2.6 含有空间分数阶Laplace算子的扩散方程

2.6.1 齐次和非齐次Dirichlet边界条件的空间分数阶Laplace算子的扩散方程

2.6.2 具有非齐次混合边界条件的空间分数阶Laplace算子的扩散方程

2.7 复合介质中一维空间分数阶扩散方程的分析解和数值解

2.7.1 复合介质中一维空间分数阶Laplace算子的扩散方程

2.7.2 单一均匀介质的区域分解方法

2.7.3 具有相同α的复合介质中的整体分析解

2.7.4 具有相同α的复合介质中的整体数值解

2.7.5 具有相同α的复合介质中的区域分解方法

2.7.6 具有不同α的复合介质中的区域分解方法

2.7.7 利用数值情况的研究给出方法的比较

2.8 双侧空间分数阶非线性变系数扩散方程

2.8.1 双侧空间分数阶非线性变系数扩散方程

2.8.2 半隐式差分格式

2.8.3 半隐式差分格式的理论分析

2.8.4 快速迭代算法

2.9 维空间分数阶渗透方程的有限差分方法

2.9.1 一种隐式差分方法

2.9.2 交替方向隐式差分方法

2.9.3 交替方向隐式差分方法的稳定性和收敛性

参考文献

第3章 时间、时间－空间分数阶偏微分方程的差分方法

3.1 分数阶积分和Caputo分数阶导数的数值近似

3.1.1 分数阶积分的数值近似

3.1.2 Caputo分数阶导数的数值近似

3.2 时间、时间－空间分数阶扩散方程的差分格式

3.2.1 差分格式的建立

3.2.2 差分格式的稳定性和收敛性

3.3 反常次扩散方程的隐式差分格式及其理论分析

3.3.1 反常次扩散方程的隐式差分方法

3.3.2 隐式差分格式的稳定性

3.3.3 隐式差分格式的收敛性

3.4 生物系统中分数阶非线性动力系统的反问题

3.4.1 生物系统中分数阶非线性动力系统

3.4.2 模拟分数阶非线性动力系统的分数阶预估－校正方法

3.4.3 一种复合Nelder-Mead单纯形和粒子群体最佳化算法

3.4.4 非线性分数阶动力模型中的参数估计

参考文献

第4章 多项时间－空间分数（分布）阶偏微分方程

4.1 多项时间分数阶偏微分方程的解析解

4.1.1 理论背景

4.1.2 非齐次边界条件下的多项时间分数阶幂律波动方程

4.1.3 特例

4.2 多项时间－空间分数阶偏微分方程的解析解

4.2.1 具有多项时间分数阶扩散项和空间分数阶Laplace算子的对流－扩散方程的解析解

4.2.2 具有多项时间分数阶波动项和空间分数阶Laplace算子的对流－扩散方程的解析解

4.2.3 具有多项时间分数阶混合扩散－波动项和空间分数阶Laplace算子的对流－扩散方程的解析解

4.2.4 特例

4.3 多项时间分数阶偏微分方程的数值方法

4.3.1 二项移动／静止时间分数阶扩散方程

4.3.2 二项时间分数阶波动－扩散方程

4.3.3 多项时间分数阶偏微分方程的数值方法

4.4 多项时间－空间分数阶偏微分方程的数值方法

4.4.1 二项时间－空间分数阶偏微分方程的数值方法

4.4.2 多项时间－空间Riesz-Caputo分数阶微分方程的最大值原理和数值方法

4.4.3 最大值原理

4.4.4 解的唯一性和连续依赖性

4.4.5 数值方法

4.5 时间分布阶的偏微分方程的数值方法

4.5.1 紧差分格式

4.5.2 紧差分格式的数值分析

4.6 时间分布阶－空间分数阶扩散方程的数值方法

4.6.1 时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散方程

4.6.2 隐式差分方法的数值分析

4.7 空间分布阶扩散方程的隐式差分方法

4.7.1 一维情况下的隐式差分方法

4.7.2 二维情况下的隐式交替方向方法

参考文献

第5章 变分数阶偏微分方程的差分方法

5.1 变分数阶导数的定义

5.2 空间变分数阶对流－扩散方程

5.2.1 隐式差分方法

5.2.2 显式Euler方法的稳定性和收敛性

5.2.3 隐式Euler方法的稳定性和收敛性

5.2.4 其他数值方法

5.3 时间变分数阶移动／不动对流－扩散方程

5.3.1 隐式Euler方法

5.3.2 隐式Euler方法的稳定性

5.3.3 隐式Euler方法的收敛性

5.4 时间变分数阶扩散方程的数值方法

5.4.1 时间变分数阶扩散方程的逼近格式

5.4.2 逼近格式的稳定性

5.4.3 逼近格式的收敛性

5.4.4 逼近格式的可解性

5.5 时间－空间变分数阶对流－扩散方程

5.5.1 隐式Euler方法

5.5.2 隐式Euler方法的稳定性

5.5.3 隐式Euler方法的收敛性

5.6 二维空间变分数阶偏微分方程

5.6.1 一种隐式交替方向方法

5.6.2 稳定性和收敛性分析

参考文献

第6章 分数阶偏微分方程的有限元法

6.1 预备知识

6.2 时间分数阶Cable方程的Galerkin有限元法

6.2.1 时间离散的半离散格式

6.2.2 全离散Galerkin有限元近似

6.3 一维空间分数阶对流－扩散方程的Galerkin有限元法

6.3.1 变分公式

6.3.2 隐式Galerkin有限元完全离散格式

6.3.3 稳定性和收敛性分析

6.4 一维时间－空间分数阶扩散方程的有限元法

6.4.1 全离散格式的稳定性分析

6.4.2 全离散格式的误差估计

6.5 二维空间分数阶扩散方程的Galerkin有限元方法

6.5.1 二维分数阶导数空间和分数阶Sobolev空间

6.5.2 变分形式

6.5.3 全离散Galerkin有限元格式

6.6 二维时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的有限元方法

6.6.1 半离散格式

6.6.2 全离散格式的收敛性

参考文献

第7章 分数阶偏微分方程的谱方法

7.1 时间分数阶导数空间和Jacobi多项式

7.1.1 时间分数阶导数空间

7.1.2 Jacobi多项式与分数次Jacobi多项式

7.2 时间分数阶Fokker-Planck方程的高阶空间－时间谱方法

7.2.1 变分形式

7.2.2 空间－时间谱方法

7.2.3 谱方法的实现

7.2.4 数值例子

7.3 一维时间－空间分数阶扩散方程的高阶空间－时间谱方法

7.3.1 时间离散

7.3.2 空间离散

7.3.3 算法的实现

7.3.4 稳定性和收敛性

7.4 二维Riesz空间分数阶非线性反应－扩散方程的Crank-Nicolson交替方向谱方法

7.4.1 格式和实现

7.4.2 稳定性和收敛性

7.4.3 应用于分数阶的FitzHugh-Nagumo模型

7.4.4 数值例子

7.5 求解具有分数阶Laplace算子的反常扩散方程的高阶谱方法

7.5.1 空间离散

7.5.2 半离散问题的解

参考文献

第8章 有限体积方法和无网格方法

8.1 空间分数阶对流－扩散方程的有限体积方法

8.1.1 离散格式

8.1.2 理论分析

8.2 双侧空间分数阶扩散方程的一个新的分数阶有限体积方法

8.2.1 一个新的分数阶有限体积方法

8.2.2 分数阶有限体积方法的理论分析

8.3 二维空间分数阶反应－扩散方程的非结构网格有限体积方法

8.3.1 非结构网格有限体积方法

8.3.2 预处理Lanczos方法

8.3.3 数值例子

8.4 径向基点插值方法

8.5 时间分数阶扩散方程的RPCM逼近

8.5.1 半离散格式

8.5.2 方程的RPCM逼近

8.5.3 算法和数值例子

8.6 空间分数阶扩散方程的RPCM逼近

8.6.1 支持域的选取

8.6.2 形函数分数阶导数的计算及算法

8.6.3 方程的RPCM逼近

8.6.4 数值例子

参考文献

第9章 人类大脑组织中的反常扩散模型的数值模拟

9.1 链接大脑的计算模拟

9.2 分数阶Bloch方程的数值模拟

9.2.1 分数阶Bloch方程

9.2.2 预备知识

9.2.3 时间分数阶Bloch方程的解析解

9.2.4 求解时间分数阶Bloch方程的分数阶预估－校正方法

9.2.5 求解时间分数阶Bloch方程的分数阶预估－校正方法的误差分析

9.2.6 反常分数阶Bloch方程的隐式数值方法

9.2.7 反常分数阶Bloch方程的隐式数值方法的稳定性

9.2.8 反常分数阶Bloch方程的隐式数值方法的收敛性

9.3 时间－空间Bloch-Torrey方程的数值模拟

9.3.1 时间－空间Bloch-Torrey方程

9.3.2 时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的隐式差分方法

9.3.3 分数阶Bloch-Torrey方程的隐式数值方法的稳定性

9.3.4 时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的隐式差分方法的收敛性

9.3.5 时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的交替方向隐式差分方法

9.3.6 时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的交替方向隐式差分方法的稳定性

9.3.7 时间－空间分数阶Bloch-Torrey方程的交替方向隐式差分方法的收敛性

参考文献

第10章 心脏科学中非均匀介质内的分数阶模型的数值模拟

10.1 非均匀介质中扩散过程的分数阶模型

10.2 二维Riesz分数阶空间中的非线性反应－扩散模型

10.2.1 隐式差分方法

10.2.2 隐式差分方法的稳定性和收敛性

10.2.3 隐式交替方向方法

10.2.4 隐式交替方向法的稳定性和收敛性

10.3 二维变分数阶非线性反应－扩散模型

10.3.1 半隐式交替方向法

10.3.2 半隐式交替方向法的稳定性和收敛性

10.4 近似不规则域上的二维分数阶非线性反应－扩散模型

10.4.1 近似不规则域上的半隐式交替方向法

10.4.2 半隐式交替方向法的稳定性和收敛性

10.5 数值结果

参考文献

索引