第一章 导论

1.1问题提出的背景

1.1.1数学无限的认识发展一瞥

1.1.2对数学无限的认识窘状

1.2研究的问题

1.2.1研究的线索一：学生对无限的诸层次的认识状况和影响因素

1.2.2研究的线索二：学生对相关数学无限概念的理解

1.3本研究的意义

1.4本书的结构

第二章 文献述评和研究思想框架的形成

2.1关于无限的界定

2.1.1关于哲学上的无限的界定

2.1.2关于数学哲学上的无限界定

2.1.3本书所研究的数学无限的界定

2.2无限思辩的两个观点

2.2.1哲学意义上的潜无限和实无限

2.2.2数学上的潜、实无限观的认识发展一瞥

2.2.3数学上的三大流派对无限的不同观点

2.2.4小结

2.3对无限认识的研究综述

2.3.1对个体实无限的认识研究

2.3.2关于无限的隐喻（metaphor）研究

2.3.3关于无限认识的分类研究

2.4研究思想架构的形成

2.4.1学习的认知弹性理论

2.4.2数学概念学习的APOS理论

2.4.3无限认识层次划分的依据

2.4.4层次划分

2.4.5无限认识量表使用说明

第三章 研究的设计与方法

3.1总体和样本

3.1.1学校

3.1.2学生和教师

3.2研究工具

3.2.1问卷调查表

3.2.2访谈

3.2.3工具的试验

3.3研究的具体问题

3.3.1线索一的具体研究问题

3.3.2线索二的具体研究问题

3.4数据收集，处理与分析

3.4.1数据收集与评分

3.4.2数据的处理与分析

3.5研究的优点和局限性

第四章 研究结果（一）：朴素认识

4.1朴素认识是学生认识无限的开端

4.2朴素认识的标准尺度

4.3研究结果一：初三学生对无限的朴素认识

4.3.1初三学生对无限的朴素认识的普遍状况

4.3.2初三学生朴素认识的心理模式特点

4.4研究结果二：初三学生和高三学生的朴素认识没有显著性差异

4.5小结

4.5.1生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识

4.5.2高三学生和初三学生的朴素认识没有显著性差异

4.5.3教学启示和建议

第五章 研究结果（二）：直觉认知

5.1初级直觉认知和高级直觉认知的内涵

5.2直觉认知的标准尺度

5.3研究结果一：初三学生的初级直觉认知

5.3.1初三学生的初级直觉认知的大体得分状况分析

5.3.2初三学生容易出现无限直觉的经验化心理趋向

5.3.3初三学生直觉认知水平与数学成绩的相关性

5.4研究结果二：高三学生的高级直觉认知

5.4.1高三学生高级直觉认知现状分析

5.4.2实证研究

5.5研究结果三：学生直觉认知的年龄阶段性

5.5.1小学生的无限直觉认识

5.5.2初中生与高中生初步直觉认识比较

5.5.3高三学生和大二学生高级直觉认识比较

5.6研究结果四：学生对涉及无限的数学概念的直觉认知

5.6.1初三学生对平行线的理解

5.6.2高三学生对单调性的实无限认知

5.6.3小结

5.7教师的无限直觉认知的一点调查

5.8小结

5.8.1“无穷大”的抽象化认识是具备初步直觉认识的重要标志

5.8.2“整体认知”是影响高级直觉认知的重要因素

5.8.3教学启示和建议

第六章 研究结果（三）：无限思辩方式

6.1无限思辩方式的内在矛盾性

6.1.1无限思辩方式内在矛盾性内涵

6.1.2无限思辩方式的三维结构

6.2思辩方式的标准尺度

6.3高三学生的无限思辩特点分析

6.3.1现状分析

6.3.2高三学生的无限思辩特点

6.3.3个案对比研究分析

6.3.4思辩方式得分和学生的数学成绩的相关性

6.4高三学生无限思辩能力的稳定性

6.4.1高三和初三学生思辩能力比较

6.4.2高三学生与大二学生思辩能力比较

6.5小结

6.5.1高三学生的无限思辩方式特点

6.5.2高三学生无限思辩能力具有稳定性

6.5.3教学启示和建议

6.5.4初三、高三学生无限认识水平的简要概括

第七章 研究结果（四）：演绎层次

7.1演绎层次的内涵

7.1.1极限和无限的关系

7.1.2极限的思想内涵

7.1.3语言的本质

7.2演绎层次的标准尺度

7.2.1无穷小分析（极限）的标准尺度

7.2.2严密系统层次的标准尺度

7.3研究结果一：大二学生对演绎层次的理解

7.3.1大二学生对演绎层次的总体得分状况

7.3.2大二学生对极限的思想内涵的理解

7.3.3大二学生对语言的理解

7.3.4大一学生对定义中包含的“有分界”的无限的理解

7.4研究结果二：大二学生对涉及极限的数学概念的定义的理解

7.4.1微积分总体无限逼近思想的几何直观——以直代曲

7.4.2大二学生对连续、可导、可积的极限思想的理解

7.5对高校数学教授定义的理解的一点调查

7.6替代定义的某些尝试

7.6.1张景中院士的“不等式法”的思想

7.6.2张景中院士的“不等式法”的意义

7.7小结

7.7.1“动态分析”是演绎层次的重要标志

7.7.2理解极限的定义中的“有分界”的无限是关键

7.7.3阻碍学生理解定义的主要因素

7.7.4大二学生对连续、导数、定积分中的“无限逼近”思想认识不足

7.7.5教学启示和建议

第八章 研究结果（五）：超限数理论初步认识

8.1超限数理论的内涵

8.1.1 Cantor发明超限数理论一瞥

8.1.2 Cantor的超限数理论是实无限理论

8.2超限数理论初步思想的标准尺度

8.3研究结果一：大二学生对无限集合“一一对应”的理解

8.3.1学生对“不同长度线段的点数相同”的理解

8.3.2实证研究

8.4研究结果二：大二学生对超限数运算的理解

8.4.1超限数运算的涵义

8.4.2实证研究

8.5研究结果三：“芝诺悖论”解释—极限和超限数理论的共同应用

8.5.1关于“芝诺悖论”的解释

8.5.2学生对“芝诺悖论”的认识状况调查

8.6小结

8.6.1大二学生对“一一对应”理解倾向

8.6.2大二学生对超限数的认识倾向

8.6.3教学启示和建议

第九章 结论、建议和反思

9.1从初三到高三学生无限认识的总体发展趋势

9.2学生对无限本质的认识

9.2.1“无穷大”的抽象化认识是具备初步直觉认识的重要标志

9.2.2“整体认知”是影响高级直觉认知的重要因素

9.2.3“动态分析”是演绎层次的重要标志

9.2.4理解极限的ε-8定义中的“有分界”的无限是关键

9.3学生对数学极限概念的认识

9.3.1大二学生对连续、导数、定积分中的“无限逼近”思想认识不足

9.3.2阻碍学生理解ε-δ定义的主要因素

9.4学生无限认识的心理倾向

9.4.1生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识

9.4.2高三学生的无限思辩的心理倾向性

9.4.3大二学生对“一一对应”和超限数的认识倾向

9.5教学建议

9.5.1在教学中注重学生无限观的培养

9.5.2注重提高中学教师的数学无限素养

9.5.3对教材体系安排的一点建议

9.5.4建议在数学课标中体现无限观培养的具体要求

9.5.5对教学评价的建议

9.6本研究的不足和进一步研究的方向

9.6.1本研究的不足

9.6.2进一步研究的方向

参考文献

附录一 初三学生无限认识量表

附录二 大一新生（高三学生）无限认识量表

附录三 大二学生无限认识量表

附录四 实数与实数集合中无限的魅力

后记