第一章 线性方程组、矩阵、行初等变换和行列式

1.1 线性方程组和消元法

1.1.1 线性方程组

1.1.2 高斯消元法回顾

1.2 线性方程组的矩阵表达和行初等变换

1.3 矩阵的秩和线性方程组解的定理

1.4 线性方程组解的公式和行列式的定义

1.4.1 二元线性方程组和三元线性方程组的解公式

1.4.2 n阶方阵行列式的定义与克莱默法则

1.5 与行列式相关问题的进一步说明

1.5.1 行列式的其他等价定义

1.5.2 行列式按行（列）展开

1.5.3 行列式的性质

1.5.4 克莱默法则的证明

1.5.5 矩阵秩的等价定义

1.6 习题

第二章 矩阵加法、向量空间

2.1 向量和矩阵的线性运算

2.2 向量空间（一）

2.3 向量组的线性相关性

2.3.1 向量的线性表示与线性方程组

2.3.2 向量组的线性相关与线性无关

2.3.3 最大无关组和向量组的秩

2.4 向量空间（二）

2.5 线性方程组解的向量表达

2.5.1 齐次线性方程组的解空间

2.5.2 非齐次线性方程组的解向量

2.6 习题

第三章 矩阵乘法和初等矩阵的应用

3.1 线性变换、矩阵乘法和可逆矩阵

3.1.1 线性变换和矩阵乘法

3.1.2 可逆矩阵

3.2 初等矩阵及其应用

3.2.1 初等变换与初等矩阵

3.2.2 矩阵的分解与标准型

3.2.3 乘积矩阵的行列式

3.2.4 矩阵的可逆性

3.2.5 伴随矩阵与逆矩阵公式

3.3 向量空间（三）

3.3.1 向量的坐标表达

3.3.2 基变换与坐标变换

3.4 习题

第四章 相似矩阵和方阵的对角化

4.1 乘方、指数运算

4.2 相似矩阵

4.3 特征值和特征向量

4.4 习题

第五章 内积空间、厄密矩阵和合同变换

5.1 向量的内积、长度及正交性

5.2 厄密矩阵的对角化

5.3 二次型与合同变换

5.4 习题

第六章 傅里叶级数和傅里叶积分

6.1 逐点收敛、平均收敛和函数空间

6.1.1 向量空间与函数空间

6.1.2 朗斯基行列式与函数的线性相关

6.1.3 逐点收敛与平均收敛

6.2 傅里叶级数定理

6.2.1 三角函数形式的傅里叶级数

6.2.2 复函数形式的傅里叶级数

6.3 傅里叶变换

6.3.1 复函数形式的傅里叶变换

6.3.2 傅里叶正弦变换与余弦变换

6.3.3 多重傅里叶变换

6.4 狄拉克δ函数

6.4.1 狄拉克δ函数的引入

6.4.2 δ函数及其导数的运算

6.4.3 高维空间的δ函数

6.5 习题

第七章 常微分方程和本征值问题

7.1 几种简单的常微分方程的解法回顾

7.1.1 一阶线性常微分方程

7.1.2 常系数齐次常微分方程

7.1.3 欧拉型齐次常微分方程

7.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解法

7.2.1 常点、奇点和正则奇点、级数解法概述

7.2.2 常点附近的级数解法和勒让德方程的解

7.2.3 正则奇点附近的级数解法和贝塞尔方程的求解

7.3 二阶线性非齐次常微分方程

7.3.1 齐次方程的通解

7.3.2 非齐次方程的通解

7.4 斯图姆-刘维尔型本征值问题

7.4.1 本征值问题的构成

7.4.2 本征值问题的性质

7.5 习题

第八章 数理方程的导出和定解

8.1 方程的导出

8.1.1 波动方程

8.1.2 输运方程

8.1.3 稳定场方程

8.2 方程的定解条件

8.2.1 初始条件

8.2.2 边界条件

8.3 线性方程和叠加原理

8.3.1 线性算符

8.3.2 线性叠加原理

8.3.3 求解定解问题的一般步骤

8.4 习题

第九章 傅里叶级数法（一）

9.1 分离变量法初步

9.1.1 什么是分离变量法

9.1.2 自由振动方程的求解——分离变量法的简单例子

9.1.3 分离变量法的主要步骤和应用

9.2 球坐标系下的分离变量法

9.3 习题

第十章 积分变换法

10.1 一维空间的积分变换法

10.1.1 自由波动方程

10.1.2 受迫波动方程

10.2 三维空间的积分变换法

10.2.1 自由波动方程

10.2.2 受迫波动方程

10.3 习题

第十一章 复数和复变函数

11.1 复数

11.1.1 复数的定义

11.1.2 复数的表示方法

11.1.3 复数的运算

11.2 复变函数

11.2.1 复平面上的区域

11.2.2 复变函数的连续和极限

11.2.3 单值函数与多值函数

11.2.4 基本初等复变函数

11.3 习题

第十二章 微分和解析函数

12.1 复变函数的微分

12.1.1 复变函数的导数

12.1.2 柯西-黎曼条件

12.1.3 复变函数的微分运算法则

12.2 解析函数

12.2.1 解析函数的定义

12.2.2 解析函数的应用

12.3 习题

第十三章 积分和柯西定理

13.1 复变函数的积分

13.1.1 复变函数的积分定义

13.1.2 复变函数积分的性质

13.2 解析函数的积分

13.2.1 单通区域和复通区域

13.2.2 柯西定理

13.3 柯西公式及推论

13.4 习题

第十四章 级数、奇点和解析延拓

14.1 级数理论中的一般概念

14.1.1 级数、收敛和绝对收敛

14.1.2 函数项级数、收敛和一致收敛

14.2 幂级数理论

14.2.1 幂级数及收敛半径

14.2.2 幂级数在收敛圆内的性质

14.3 解析函数的幂级数展开

14.3.1 圆域内解析函数的泰勒定理

14.3.2 环域内的解析函数和洛朗定理

14.4 孤立奇点的分类和特性

14.5 解析延拓

14.5.1 定义和唯一性定理

14.5.2 解析延拓的方法

14.5.3 Γ函数的解析延拓

14.6 习题

第十五章 留数定理及应用

15.1 留数定理

15.2 有限远处孤立奇点留数的求法

15.3 留数定理的应用

15.3.1 第一种类型：？R（cos x,sin x）dx

15.3.2 第二种类型：？f（x）dx和？f（x）eieαxdx

15.3.3 第三种类型：广义积分的主值

15.3.4 几个特殊的积分

15.4 拉普拉斯变换

15.4.1 拉普拉斯变换

15.4.2 梅林反演公式

15.5 习题

第十六章 傅里叶级数法（二）

16.1 两端固定的弦的受迫振动问题——本征函数法的简单例子

16.2 球坐标系下的泊松方程、波动方程和定态薛定谔方程

16.2.1 泊松方程

16.2.2 波动方程

16.2.3 薛定谔方程

16.3 非齐次边界条件的齐次化

16.4 习题

第十七章 勒让德函数和球谐函数

17.1 勒让德函数及其重要性质

17.2 缔合勒让德函数及其重要性质

17.3 球谐函数及其性质

17.4 习题

第十八章 贝塞尔函数

18.1 贝塞尔方程的出现

18.2 贝塞尔函数及其主要性质

18.3 虚宗量贝塞尔函数

18.4 贝塞尔方程的本征值问题

18.5 球贝塞尔方程

18.5.1 球贝塞尔方程的出现

18.5.2 球贝塞尔方程的求解

18.6 习题

第十九章 非齐次问题和格林函数法

19.1 泊松方程的格林函数定解问题的构造

19.1.1 无界泊松方程问题的格林函数

19.1.2 有界问题泊松方程的格林函数

19.1.3 与泊松方程相应的格林函数的对称性的证明

19.2 泊松方程的格林函数定解问题的求解

19.2.1 一般问题解法的讨论

19.2.2 一类特殊问题的解法——镜像法

19.3 伴随算符和推广的格林公式

19.4 含时问题的格林函数法

19.4.1 波动问题

19.4.2 输运问题

19.4.3 相关格林函数性质的证明

19.5 习题

附录A 排列的奇偶性

附录B 缔合勒让德方程的求解

附录C 正交曲线坐标系和直角坐标系的变换