第0章 科学家论数学与不等式

第1章 平均与范数

1.1常见的平均

1.2著名平均与公理体系

1.3一些其他的著名平均

1.4关于两个量的平均

1.5常见的范数

习题

参考文献

第2章 几何平均-算术平均不等式

2.1不等式G2≤A2的证明

2.2不等式Gn≤An的证明

2.3关于GA不等式的用场

习题

参考文献

第3章 利用基本不等式方法

3.1基本的不等式及其基本关系

3.2利用GA不等式

3.3 Holder, Cauchy和Minkowski不等式的相关注释

3.4利用Cauchy不等式和Holder不等式

3.5利用Minkowski不等式和三角形不等式

3.6利用Bernoulli不等式

3.7利用чeoьuueβ不等式

3.8利用Jensen不等式

习题

参考文献

第4章 数学归纳法与抽屉原理方法

4.1数学归纳法

4.2利用反向归纳法

4.3利用一般数学归纳法

4.4一种递推不等式

4.5抽屉原理

习题

参考文献

第5章 几何、图论、向量、复数和判别式方法

5. 1几何方法

5. 2图论方法

5. 3向量方法

5.4复数方法

5. 5判别式方法

习题

参考文献

第6章 凸性函数法

6.1关于凸函数的一些知识

6.2借助凸（凹）函数建立著名不等式

6.3 Hermite-Hadamard不等式之推广

6.4 Jensen不等式的另类推广和加细

6. 5 γ—凸函数

6.6几何凸函数及其相关性质

习题

参考文献

第7章 单调方法

7.1单调性的有关定理

7.2利用函数的单调性

习题

参考文献

第8章 中值定理法

8. 1中值定理的有关知识

8.2利用微分中值定理

8.3利用积分中值定理

习题

参考文献

第9章 极值方法

9.1求极值的有关思路与定理

9.2极值方法的证明

习题

参考文献

第10章 确界方法和收缩方法

10. 1确界的性质

10.2利用确界性质证明不等式

10.3收缩方法

习题

参考文献

第11章 λ方法和Mercer方法

11. 1 λ方法

11.2 Mercer方法

习题

参考文献

第12章 不等式与数学规划

12.1函数方程法

12.2动态规划的一种归纳程序

12.3动态规划的模型

12.4逆序解法与顺序解法 291 12.5来自经济学中的数学模型

12.6连续的动态规划方法

习题

参考文献

第13章 幂级数方法

13.1有关幂级数的知识

13.2利用幂级数建立不等式

习题

参考文献

第14章Fourier级数方法

14.1展开定理

14.2利用Fourier级数建立不等式

参考文献

第15章 权系数方法

15.1权系数方法

15.2 Hardy-Hilbert型不等式的一些相关研究

15.3发展的权函数方法

15.4对加强的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法

15.5对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法（1 ）

15.6对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式使用权函数方法（2）

15.7对含有单参数的连续型与离散型的Hardy-Hilbert不等式 使用权函数方法（3）

15.8Carleman不等式

习题

参考文献

第16章 恒等式法及其相关方法

16.1恒等式法1（离散型）

16.2恒等式法2（积分型）

16.3放缩法

16. 4松弛法

16. 5代换方法

习题

参考文献

第17章 受控方法

17. 1控制不等式与凸性函数的基本知识

17.2用受控方法建立不等式

习题

参考文献

第18章 支撑函数方法

18.1支撑函数的有关知识

18.2利用支撑函数理论建立不等式

18.3利用支撑函数建立行列式不等式

习题

参考文献

第19章 拟线性化方法

19.1拟线性化的有关知识

19.2利用拟线性方法建立不等式

习题

参考文献

第20章 用导数和积分的定义和性质

20.1利用导数和积分的定义

20.2利用积分的性质

20.3利用多元积分和反常积分性质

习题

参考文献

第21章Benson方法

21.1建立不等式的Benson方法的思路

21.2涉及（u′）2的不等式

21.3涉及（u′）2n的不等式

21.4涉及（u＂）2与（u＂）2n的不等式

21.5涉及（u（n））2与（u（n））2m的不等式

21.6涉及多元函数的不等式和导数的幂函数不等式

习题

参考文献

第22章 逐步调整法

22. 1逐步调整法的有关定理

22.2利用局部逐步调整法建立不等式

习题

参考文献

第23章 降维法

23.1问题的提出

23. 2GA不等式及其相关命题

23.3一些著名的不等式

23.4幂平均不等式和Fan型不等式

23. 5再论构造函数因子法

23. 6齐次对称函数不等式

23. 7 L—单调函数方法

习题

参考文献

第24章 物理方法

24. 1关于形心的一些知识

24.2一些不等式的形心法与光学法证明

24.3热力学方面的一些知识

24.4基本不等式的热力学证明

习题

参考文献

第25章 泛函分析方法

25.1利用线性赋范空间和内积空间的特性

25.2利用算子的正性

25.3利用非线性正泛函

25.4 Hilbert空间上的Heinz-Kato-Furuta不等式

25. 5利用转换点和不动点

25.6利用算子谱论建立不等式

习题

参考文献

第26章 变分方法

26.1变分方法的若干基本知识

26.2变分方法建立不等式的例子

26.3参数表达泛函的极值与条件极值问题

26.4使用Weierstrass的ε函数

习题

参考文献

第27章 概率方法

27.1概率论中有关知识和公式

27.2解答来自高中的数学题

27. 3利用概率方法建立不等式举例

27.4利用概率方法建立著名不等式

27.5利用概率方法建立积分不等式

27. 6推广的对数平均与恒等平均

习题

参考文献

第28章 矩阵方法

28.1构造矩阵证明离散不等式

28.2 Ferscha的构造矩阵方法

28.3关于矩阵迹的基本不等式

28.4矩阵形式的调和—几何-算术平均不等式

28. 5矩阵形式的Holder, Minkowski及其他不等式

28.6 Hadamard乘积与K ronecker乘积基本知识

28.7 Hadamard乘积与Kronecker乘积的相关不等式

28.8积和式及其相关不等式

习题

参考文献

第29章 信息论方法

29. 1信息论的基本知识和符号

29.2用信息论方法建立不等式

29. 3在Shannon熵中的应用（1）

29.4在Shannon熵中的应用（2）

29. 5距离函数和互信息

习题

参考文献

30章 软件方法

30. 1数学计算软件

30.2使用数学软件证明举例

30.3使用计算机证明

30.4使用机械化证明的注释及其他应用

参考文献

31章 机械化方法

31.1不完全柱形代数分解方法（PCAD）

31.2配平方和方法（SOS）

31.3差分代换方法（SDS）

参考文献