第1部分　建模、计算机与误差分析问题

PT1.1 动机

PT1.1.1　非计算机方法

PT1.1.2　数值方法与工程实践

PT1.2　数学背景

PT1.3　导读

PT1.3.1　范围与预览

PT1.3.2 目标

第1章　数学建模与工程问题求解

1.1　一个简单的数学模型

1.2　守恒律与工程

习题

第2章　程序设计与软件

2.1　软件包与程序设计

2.2　结构化程序设计

2.3　模块化程序设计

2.4 Excel

2.5　MATLAB

2.6　其他的语言和软件库

习题

第3章　逼近与舍入误差

3.1　有效数字

3.2　准确度与精确度

3.3　误差的定义

3.4　舍入误差

3.4.1　数的计算机表示

3.4.2　计算机中的算术运算

习题

第4章　截断误差与泰勒级数

4.1 泰勒级数

4.1.1　泰勒级数展开的余项

4.1.2　用泰勒级数估计截断误差

4.1.3　数值微分

4.2　误差传播

4.2.1　单变量函数

4.2.2　多变量函数

4.2.3　稳定性与稳定条件

4.3 总的数值误差

4.4　粗差、形式化误差和数据的不确定性

4.4.1　粗差

4.4.2　形式化误差

4.4.3　数据的不确定性

习题

第1部分　结束语

PT1.4　权衡

PT1.5　重要的关系式与公式

PT1.6　高级方法与其他参考文献

第2部分　方程求根

PT2.1　动机

PT2.1.1　求根的非计算机方法

PT2.1.2　方程求根和工程实践

PT2.2　数学背景

PT2.3 导读

PT2.3.1　范围与预览

PT2.3.2 目标

第5章　划界法

5.1 图解法

5.2　二分法

5.2.1　终止条件和误差估计

5.2.2　二分算法

5.2.3　最小化函数的计算量

5.3　试位法

5.3.1　试位法的缺陷

5.3.2　改进的试位法

5.4　增量搜索和确定初始猜测

习题

第6章　开方法

6.1　简单定点迭代法

6.1.1 收敛性

6.1.2　定点迭代算法

6.2　牛顿-瑞普逊法

6.2.1　终止条件和误差估计

6.2.2　牛顿-瑞普逊法的缺点

6.2.3　牛顿-瑞普逊算法

6.3　正割法

6.3.1　正割法和试位法的差异

6.3.2　正割法算法

6.3.3 改进的正割法

6.4　重根

6.5　非线性方程组

6.5.1　定点迭代法

6.5.2　牛顿-瑞普逊法

习题

第7章　多项式求根

7.1　工程和科学中的多项式

7.2　多项式计算

7.2.1　多项式计算和微分

7.2.2　多项式紧缩

7.3　传统方法

7.4　米勒法

7.5　贝尔斯托法

7.6　其他方法

7.7　使用程序库和软件包求根

7.7.1　Excel

7.7.2 MATLAB

7.7.3　IMSL

习题

第8章　方程求根案例分析

8.1 理想和非理想气体定律（化学／生物工程）

8.2 明水渠水流（土木工程／环境工程）

8.3 电子电路的设计（电气工程）

8.4　振动分析（机械／航空工程）

习题

第2部分　结束语

PT2.4　权衡

PT2.5　重要的关系式与公式

PT2.6　高级求根方法与其他参考文献

第3部分　线性代数方程组

PT3.1 动机

PT3.1.1　求解方程组的非计算机方法

PT3.1.2　线性代数方程组和工程实践

PT3.2　数学背景

PT3.2.1　矩阵概念

PT3.2.2　矩阵操作规则

PT3.2.3　用矩阵形式表示线性代数方程组

PT3.3　导读

PT3.3.1 范围与预览

PT3.3.2 目标

第9章　高斯消去法

9.1　求解小规模方程组

9.1.1 图解法

9.1.2　行列式和克莱姆法则

9.1.3　未知数消去法

9.2　原始高斯消去法

9.3 消去法的缺陷

9.3.1　除以0的问题

9.3.2　舍入误差

9.3.3　病态方程组

9.3.4　奇异方程组

9.4　解求精技术

9.4.1　使用更多的有效位

9.4.2　交换主元法

9.4.3　缩放

9.4.4　高斯消去算法

9.5　复数方程组

9.6　非线性方程组

9.7　高斯-约当法

9.8　小结

习题

第10章　LU分解法和矩阵求逆

10.1 LU分解

10.1.1　LU分解概述

10.1.2　高斯消去法的LU分解

10.1.3　LU分解算法

10.1.4　Crout分解

10.2　矩阵求逆

10.2.1　计算逆矩阵

10.2.2　激励-反应计算

10.3　误差分析和方程组条件

10.3.1 向量和矩阵的范数

10.3.2　矩阵条件数

10.3.3　迭代求精

习题

第11章　特殊矩阵和高斯-赛得尔方法

11.1　特殊矩阵

11.1.1　三对角方程组

11.1.2　Cholesky分解

11.2　高斯-赛得尔方法

11.2.1　高斯-赛得尔方法的收敛准则

11.2.2　使用松弛方法提高收敛性

11.2.3　高斯-赛得尔算法

11.2.4　高斯-赛得尔方法的问题背景

11.3　使用程序库和软件包求解线性代数方程组

11.3.1　Excel

11.3.2　MATLAB

11.3.3　IMSL

习题

第12章　线性代数方程组案例分析

12.1 反应系统的稳态分析（化学／生物工程）

12.2　分析静止固定的支架（土木／环境工程）

12.3 电阻电路中的电流和电压（电气工程）

12.4　弹簧-质量块系统（机械／航空航天工程）

习题

第3部分　结束语

PT3.4　权衡

PT3.5　重要的关系式与公式

PT3.6　高级方法与其他参考文献

第4部分　最优化

PT4.1　动机

PT4.1.1　非计算机方法及其历史

PT4.1.2　最优化和工程实践

PT4.2　数学背景

PT4.3　导读

PT4.3.1　范围与预览

PT4.3.2　目标

第13章　一维无约束最优化

13.1　黄金分割搜索法

13.2　二次插值法

13.3　牛顿法

习题

第14章　多维无约束最优化

14.1　直接法

14.1.1　随机搜索法

14.1.2　单变量和模式检索

14.2　梯度法

14.2.1　梯度和赫赛矩阵

14.2.2　最速上升法

14.2.3　改进的梯度法

习题

第15章　约束优化

15.1　线性规划

15.1.1　标准形

15.1.2　图解法

15.1.3　单纯形法

15.2　非线性约束优化

15.3　使用软件包优化求解

15.3.1　用Excel求解线性规划问题

15.3.2　用Excel求解非线性优化问题

15.3.3　用MATLAB求解优化问题

15.3.4　用IMSL求解优化问题

习题

第16章　最优化案例分析

16.1　一个桶的最小成本设计（化学／生物工程）

16.2　废水处理的最小成本（土木／环境工程）

16.3 电路的最大功率传输（电气工程）

16.4　山地车设计（机械／航空航天工程）

习题

第4部分　结束语

PT4.4　权衡

PT4.5　其他参考文献

第5部分　曲线拟合

PT5.1 动机

PT5.1.1 曲线拟合的非计算机方法

PT5.1.2 曲线拟合与工程实践

PT5.2　数学背景

PT5.2.1　简单统计学

PT5.2.2　正态分布

PT5.2.3 置信区间估计

PT5.3 导读

PT5.3.1　范围与预览

PT5.3.2 目标

第17章　最小二乘回归

17.1　线性回归

17.1.1 “最佳”拟合准则

17.1.2　直线的最小二乘拟合

17.1.3　线性回归误差量化分析

17.1.4　线性回归的计算机程序

17.1.5　非线性关系的线性化

17.1.6　对线性回归的一般讨论

17.2　多项式回归

17.3　多元线性回归

17.4　一般线性最小二乘法

17.4.1　线性最小二乘的一般矩阵形式

17.4.2　正规方程的求解方法

17.4.3　从统计角度分析最小二乘理论

17.5　非线性回归

习题

第18章　插值

18.1　牛顿差商插值多项式

18.1.1　线性插值

18.1.2　二次插值

18.1.3　牛顿插值多项式的一般形式

18.1.4　牛顿插值多项式的误差

18.1.5　牛顿插值多项式的计算机算法

18.2　拉格朗日插值多项式

18.3　插值多项式的系数

18.4　逆插值

18.5　进一步讨论

18.6　样条插值

18.6.1　线性样条

18.6.2　二次样条

18.6.3　三次样条

18.6.4　三次样条的计算机算法

习题

第19章　傅里叶逼近

19.1　用正弦函数进行曲线拟合

19.2　连续傅里叶级数

19.3　频域与时域

19.4　傅里叶积分与变换

19.5　离散傅里叶变换（DFT）

19.6　快速傅里叶变换（FFT）

19.6.1　Sande-Tukey算法

19.6.2　Cooley-Tukey算法

19.7　能量谱

19.8　利用软件库和软件包进行曲线拟合

19.8.1 Excel

19.8.2　MATLAB

19.8.3　IMSL

习题

第20章 曲线拟合案例分析

20.1 线性回归与人口模型（化学／生物工程）

20.2　用样条估计热传递（土木／环境工程）

20.3　傅里叶分析（电气工程）

20.4　实验数据分析（机械／航空航天工程）

习题

第5部分　结束语

PT5.4　权衡

PT5.5　重要的关系式与公式

PT5.6　高级方法与其他参考文献

第6部分　数值微分和数值积分

PT6.1　动机

PT6.1.1　微分和积分的非计算机方法

PT6.1.2　工程中的数值微分和数值积分

PT6.2　数学背景

PT6.3　导读

PT6.3.1　范围与预览

PT6.3.2　目标

第21章　牛顿-柯特斯积分公式

21.1　梯形法则

21.1.1　梯形法则的误差

21.1.2　多应用型梯形法则

21.1.3　梯形法则的计算机算法

21.2　辛普森法则

21.2.1　辛普森1/3法则

21.2.2　多应用型辛普森1/3法则

21.2.3　辛普森3/8法则

21.2.4　辛普森法则的计算机算法

21.2.5　高阶牛顿-柯特斯闭型公式

21.3　非等距积分

21.4　开型积分公式

21.5　重积分

习题

第22章　函数的积分

22.1 函数的牛顿-柯特斯算法

22.2　龙贝格积分

22.2.1　理查森外推法

22.2.2　龙贝格积分的算法

22.3 高斯求积公式

22.3.1　待定系数法

22.3.2　两点高斯-勒让德公式的推导

22.3.3　多点公式

22.3.4　高斯求积公式的误差分析

22.4　非正常积分

习题

第23章　数值微分

23.1 高精度微分公式

23.2　理查森外推法

23.3　非等距数据的微分

23.4　带误差数据的微分和积分

23.5　使用软件库和软件包计算数值积分／微分

23.5.1　MATLAB

23.5.2　IMSL

习题

第24章　数值积分和数值微分案例分析

24.1 利用积分确定总热量（化学／生物工程）

24.2　竞赛帆船桅杆上的有效作用力（土木／环境工程）

24.3　利用数值积分确定均方根电流（电气工程）

24.4　利用数值积分计算功（机械／航空航天工程）

习题

第6部分　结束语

PT6.4 权衡

PT6.5　重要的关系式与公式

PT6.6　高级方法与其他参考文献

第7部分　常微分方程

PT7.1 动机

PT7.1.1　求解常微分方程的非计算机方法

PT7.1.2　常微分方程和工程实践

PT7.2　数学背景

PT7.3　导读

PT7.3.1　范围与预览

PT7.3.2 目标

第25章　龙格-库塔法

25.1 欧拉方法

25.1.1　欧拉方法的误差分析

25.1.2　欧拉方法的算法

25.1.3　高阶泰勒级数方法

25.2　欧拉方法的改进

25.2.1　修恩法

25.2.2　中点方法

25.2.3　修恩法和中点方法的计算机算法

25.2.4　小结

25.3　龙格-库塔法

25.3.1　二阶龙格-库塔法

25.3.2　三阶龙格-库塔法

25.3.3　四阶龙格-库塔法

25.3.4　高阶龙格-库塔法

25.3.5　龙格-库塔法的计算机算法

25.4　方程组

25.4.1 欧拉方法

25.4.2　龙格-库塔法

25.4.3　求解常微分方程组的计算机算法

25.5 自适应龙格-库塔法

25.5.1 自适应龙格-库塔或步长-对分法

25.5.2　龙格-库塔-费尔贝格法

25.5.3　步长控制

25.5.4　计算机算法

习题

第26章　刚性和多步法

26.1 刚性

26.2　多步法

26.2.1　非自启动修恩方法

26.2.2　步长控制和计算机程序

26.2.3　求积公式

26.2.4　高阶多步法

习题

第27章　边值和特征值问题

27.1　边值问题的通用方法

27.1.1　打靶法

27.1.2　有限差分法

27.2　特征值问题

27.2.1　数学背景

27.2.2　物理背景

27.2.3　边值问题

27.2.4　多项式方法

27.2.5　乘幂法

27.2.6　其他方法

27.3　使用程序库和软件包求解常微分方程和特征值问题

27.3.1 Excel

27.3.2　MATLAB

27.3.3　IMSL

习题

第28章 常微分方程案例分析

28.1 利用常微分方程分析反应堆的瞬态反应（化学／生物工程）

28.2　追捕模型和混沌（土木和环境工程）

28.3　模拟电路的瞬变电流（电气工程）

28.4　摆动的钟摆（机械／航空航天工程）

习题

第7部分　结束语

PT7.4　权衡

PT7.5　重要的关系式与公式

PT7.6　高级方法与其他参考文献

第8部分　偏微分方程

PT8.1　动机

PT8.1.1　偏微分方程和工程实践

PT8.1.2　求解偏微分方程的非计算机方法

PT8.2　导读

PT8.2.1　范围和与预览

PT8.2.2 目标

第29章　有限差分法：椭圆型方程

29.1　拉普拉斯方程

29.2　求解方法

29.2.1　拉普拉斯差分方程

29.2.2　李布曼方法

29.2.3　二级变量

29.3　边界条件

29.3.1　导数边界条件

29.3.2　不规则边界

29.4　控制体积法

29.5　求解椭圆型方程的软件

习题

第30章　有限差分法：抛物型方程

30.1　热传导方程

30.2　显式法

30.2.1　收敛性和稳定性

30.2.2　导数边界条件

30.2.3　高阶时间逼近

30.3　简单的隐式法

30.4　克兰克-尼科尔森法

30.5 二维空间上的抛物型方程

30.5.1　标准显式和隐式格式

30.5.2　ADI方法

习题

第31章　有限元法

31.1　通用方法

31.1.1　剖分

31.1.2　元素方程

31.1.3　装配

31.1.4　边界条件

31.1.5　求解

31.1.6　后处理

31.2　有限元法在一维情况下的应用

31.2.1　剖分

31.2.2 元素方程

31.2.3　装配

31.2.4　边界条件

31.2.5　求解

31.2.6　后处理

31.3　二维问题

31.3.1　剖分

31.3.2 元素方程

31.3.3　边界条件和装配

31.3.4　求解和后处理

31.4　使用程序库和软件包求解偏微分方程

31.4.1　Excel

31.4.2　MATLAB

31.4.3　IMSL

习题

第32章　偏微分方程案例分析

32.1　反应堆的一维质量守恒（化学／生物工程）

32.2　平板的挠曲（土木／环境工程）

32.3 二维静电场问题（电气工程）

32.4　用有限元法求解弹簧系统（机械／航空航天工程）

习题

第8部分　结束语

PT8.3　权衡问题

PT8.4　重要的关系式与公式

PT8.5 高级方法与其他参考文献

附录A　傅里叶级数

附录B 学习使用MATLAB

参考文献