第九章 连续映射（一般理论）

1 度量空间

1．定义和例子

2．度量空间中的开集和闭集

3．度量空间的子空间

4．度量空间的直积

练习

2 拓扑空间

1．基本定义

2．拓扑空间的子空间

3．拓扑空间的直积

练习

3 紧集

1．紧集的定义和一般性质

2．度量紧集

练习

4 连通的拓扑空间

练习

5 完备的度量空间

1．基本定义和例子

2．度量空间的完备化

练习

6 拓扑空间的连续映射

1．映射的极限

2．连续映射

练习

7 压缩映像原理

练习

第十章 线性赋范空间中的微分学

1 线性赋范空间

1．分析中一些线性空间的例子

2．线性空间中的范数

3．向量空间中的数量积

练习

2 线性和多重线性算子

1．定义和例子

2．算子的范数

3．连续算子空间

练习

3 映射的微分

1．在一点可微的映射

2．微分法的一般法则

3．一些例子

4．映射的偏导数

练习

4 有限增量定理和它的应用的一些例子

1．有限增量定理

2．有限增量定理应用的一些例子

练习

5 高阶导映射

1．n阶微分的定义

2．沿向量的导数和n阶微分的计算

3．高阶微分的对称性

4．若干评注

练习

6 泰勒公式和极值的研究

1．映射的泰勒公式

2．内部极值的研究

3．一些例子

练习

7 一般的隐函数定理

练习

第十一章 重积分

1 n维区间上的黎曼积分

1．积分定义

2．函数黎曼可积的勒贝格准则

3．达布准则

练习

2 集合上的积分

1．容许集

2．集合上的积分

3．容许集的测度（体积）

练习

3 积分的一般性质

1．作为线性泛函的积分

2．积分的可加性

3．积分的估计

练习

4 化重积分为累次积分

1．富比尼定理

2．一些推论

练习

5 重积分中的变量替换

1．问题的提出和变量替换公式的预期结论

2．可测集和光滑映射

3．一维情形

4．Rn中最简微分同胚的情形

5．映射的复合和变量替换公式

6．积分的可加性和积分变量替换公式证明的完成

7．重积分变量替换公式的一些推论和推广

练习

6 反常重积分

1．基本定义

2．反常积分收敛性的控制判别法

3．反常积分中的变量替换

练习

第十二章 Rn中的曲面及微分形式

1 Rn中的曲面

练习

2 曲面的定向

练习

3 曲面的边界及其定向

1．带边曲面

2．曲面定向与边界定向的和谐性

练习

4 欧氏空间内曲面的面积

练习

5 微分形式初步

1．微分形式，定义及例子

2．微分形式的坐标记法

3．外微分形式

4．在映射下，向量的转移与形式的转移

5．曲面上的形式

练习

第十三章 曲线积分与曲面积分

1 微分形式的积分

1．原始问题，启发性想法，例子

2．形式沿定向曲面积分的定义

练习

2 体积形式，第一型积分与第二型积分

1．物质曲面的质量

2．作为形式的积分的曲面面积

3．体积形式

4．在笛卡儿坐标下体积形式的表示

5．第一型与第二型积分

练习

3 分析的基本积分公式

1．格林公式

2．高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式

3．R3中的斯托克斯公式

4．一般的斯托克斯公式

练习

第十四章 向量分析与场论初步

1 向量分析的微分运算

1．数量场与向量场

2．R3中的向量场与形式

3．微分算子grad,rot,div及？

4．向量分析的一些微分公式

5．曲线坐标下的向量运算

练习

2 场论的积分公式

1．用向量表示的经典积分公式

2．div,rot,grad的物理解释

3．一些进一步的积分公式

练习

3 势场

1．向量场的势

2．势场的必要条件

3．向量场具有势的判别准则

4．区域的拓扑结构与势

5．向量势、恰当形式与闭形式

练习

4 应用例子

1．热传导方程

2．连续性方程

3．连续介质动力学基本方程

4．波动方程

练习

第十五章 流形上微分形式的积分

1 线性代数准备知识

1．形式代数

2．斜对称形式代数

3．线性空间中的线性映射及共轭空间中的共轭映射

练习

2 流形

1．流形的定义

2．光滑流形与光滑映射

3．流形及其边界的定向

4．单位分解及流形以Rn中曲面的形式的实现

练习

3 微分形式及其在流形上的积分

1．流形在其一点的切空间

2．流形上的微分形式

3．外微分

4．形式在流形上的积分

5．斯托克斯公式

练习

4 流形上的闭形式与恰当形式

1．庞加莱定理

2．同调与上同调

练习

第十六章 一致收敛性，函数项级数与函数族的基本分析运算

1 逐点收敛与一致收敛

1．逐点收敛

2．基本问题的提出

3．依赖于参数的函数族的收敛性和一致收敛性

4．一致收敛的柯西准则

练习

2 函数项级数的一致收敛性

1．级数一致收敛性的基本定义和判别准则

2．级数一致收敛的魏尔斯特拉斯检验法

3．阿贝尔－狄利克雷检验法

练习

3 极限函数的函数性质

1．问题的具体化

2．两个极限过程可交换的条件

3．连续性与极限过渡

4．积分法与极限过渡

5．微分法与极限过渡

练习

4 连续函数空间的紧子集和稠密子集

1．阿尔采拉－阿斯柯利定理

2．度量空间C（K,Y）

3．斯通定理

练习

第十七章 含参变量的积分

1 含参变量的常义积分

1．含参变量积分的概念

2．含参变量积分的连续性

3．含参变量积分的微分法

4．含参变量积分的积分法

练习

2 含参变量的反常积分

1．反常积分关于参数的一致收敛性

2．反常积分号下取极限和含参变量的反常积分的连续性

3．含参变量的反常积分的微分法

4．含参变量的反常积分的积分法

练习

3 欧拉积分

1．β函数

2．Г函数

3．β函数和Г函数的联系

4．一些例子

练习

4 函数的卷积和广义函数的初步知识

1．物理问题中的卷积（启发性想法）

2．卷积的一些一般性质

3．δ－型函数族和魏尔斯特拉斯逼近定理

4．分布的初步概念

练习

5 含参变量的重积分

1．含参变量的常义重积分

2．含参变量的反常重积分

3．具变奇异性的反常积分

4．高维情形的卷积，基本解和广义函数

练习

第十八章 傅里叶级数与傅里叶变换

1 一些主要的与傅里叶级数有关的一般概念

1．正交函数系

2．傅里叶系数和傅里叶级数

3．分析中正交函数系的一个重要来源

练习

2 傅里叶三角级数

1．经典傅里叶级数收敛性的基本形式

2．傅里叶三角级数逐点收敛性的研究

3．函数的光滑性和傅里叶系数的下降速度

4．三角函数系的完全性

练习

3 傅里叶变换

1．函数的傅里叶积分表示

2．函数的微分性质和渐近性质与其傅里叶变换的联系

3．傅里叶变换的最重要的演算性质

4．应用举例

练习

第十九章 渐近展开

1 渐近公式和渐近级数

1．基本定义

2．渐近级数的一般知识

3．渐近幂级数

练习

2 渐近积分（拉普拉斯方法）

1．拉普拉斯方法的基本思想

2．拉普拉斯积分的局部化原理

3．典型积分及其渐近式

4．拉普拉斯积分的渐近主项

5．拉普拉斯积分的

渐近展开

练习

口试提纲

考试大纲

参考文献

基本符号索引

索引

补序

中文版修订者的话