第三篇 多元函数微积分

第七章 多元函数微分学

§1 多元函数的极限与连续

Rn中的点集

多元函数

多元函数的极限

多元函数的连续性

有界闭区域上连续函数的性质

Rn→Rm的映射（向量值函数）

习题

§2 全微分与偏导数

全微分

偏导数

偏导数与全微分的计算

空间曲面的切平面（1）

高阶偏导数

可微映射

空间曲线的切线（1）

习题

§3 链式求导法则

多元函数求导的链式法则

全微分的形式不变性

复合映射的导数

坐标变换下的微分表达式

习题

§4 隐函数微分法及其应用

一元函数的隐函数存在定理

多元函数的隐函数存在定理

多元函数组的隐函数存在定理

空间曲面的切平面（2）

空间曲线的切线（2）

习题

§5 方向导数、梯度

方向导数

数量场的梯度

等值面的法向量

势场

习题

§6 Taylor公式

二元函数的Taylor公式

n元函数的Taylor公式

习题

§7 极值

多元函数的无条件极值

函数的最值

最小二乘法

条件极值

习题

计算实习题

第八章 多元函数积分学

§1 重积分的概念及其性质

重积分概念的背景

重积分的概念

重积分的性质

习题

§2 二重积分的计算

直角坐标系下二重积分的计算

二重积分的变量代换法

极坐标系下二重积分的计算

习题

直角坐标系下三重积分的计算

§3 三重积分的计算及应用

三重积分的变量代换

柱坐标变换和球坐标变换

重积分的应用：质心与转动惯量

重积分的应用：引力

习题

§4 广义重积分

无界区域上的广义重积分

无界函数的广义重积分

习题

§5 两类曲线积分

曲线的弧长

第一类曲线积分的概念及性质

第一类曲线积分的计算

第二类曲线积分的概念及性质

第二类曲线积分的计算

两类曲线积分的关系

习题

§6 第一类曲面积分

曲面的面积

第一类曲面积分的概念

第一类曲面积分的计算

习题

§7 第二类曲面积分

曲面的侧与有向曲面

第二类曲面积分的概念及性质

第二类曲面积分的计算

习题

§8 Green公式和Stokes公式

Green公式

Stokes公式

习题

§9 旋度和无旋场

环量和旋度

无旋场、保守场和势场

原函数

习题

§10 Gauss公式和散度

流场的流出量

Gauss公式

散度

Hamilton算符和Laplace算符

习题

第九章 级数

§1 数项级数

级数的概念

级数的基本性质

级数的Cauchy收敛准则

正项级数的比较判别法

正项级数的Cauchy判别法与D'Alembert判别法

正项级数的积分判别法

Leibniz级数

任意项级数的Abel判别法与Dirichlet判别法

更序级数

级数的乘法

习题

§2 幂级数

函数项级数

幂级数

幂级数的收敛半径

幂级数的性质

函数的Taylor级数与余项

初等函数的Taylor展开

习题

§3 Fourier级数

周期为2π的函数的Fourier展开

正弦级数和余弦级数

任意周期的函数的Fourier展开

Fourier级数的收敛性

最佳平方逼近

习题

§4 Fourier变换初步

Fourier变换和Fourier逆变换

Fourier变换的性质

离散Fourier变换

习题

第十章 常微分方程

§1 常微分方程的概念

第四篇 常微分方程

习题

§2 一阶常微分方程

变量可分离方程

数学建模

齐次方程

全微分方程

线性方程

Bernoulli方程

习题

§3 二阶线性微分方程

二阶线性微分方程

线性微分方程的解的结构

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶非齐次线性微分方程的常数变易法

二阶常系数非齐次线性微分方程

Euler方程

习题

§4 可降阶的高阶微分方程

形式为F(x,y(n))=0的方程

形式为F(x,y(k),y(k+1),…,y(n))=0的方程

形式为F(y,y′,y″,…,y(n))=0的方程

习题

§5 微分方程的幂级数解法

习题

§6 常系数线性微分方程组简介

习题

第五篇 概率论与数理统计

第十一章 概率论

§1 概率

随机事件

概率的概念

古典概型的例

几何概率的例

习题

§2 条件概率、全概率公式、Bayes公式

条件概率、乘法公式

全概率公式

Bayes公式

事件的独立性

重复独立试验

习题

§3 一维随机变量

随机变量的概念

离散型随机变量的分布

连续型随机变量

习题

二维随机变量

§4 二维随机变量

离散型二维随机变量

连续型二维随机变量

随机变量的相互独立性

随机变量函数的分布

二维随机变量的函数的分布

习题

§5 随机变量的数字特征

数学期望

方差和标准差

随机变量的函数的数学期望

二维随机变量的数字特征

习题

§6 大数定律和中心极限定理

Чебышев定理

Чебышев不等式与大数定律

中心极限定理

积分极限定理

习题

第十二章 数理统计

§1 数理统计的基本概念、样本及其分布

总体与样本

直方图

三个重要分布

x2分布

t分布

F分布

统计量

统计量的分布

习题

矩估计法

点估计

§2 参数估计

极大似然估计法

估计值好坏的标准

区间估计

习题

§3 假设检验

两类错误

正态总体均值与方差的假设检验

总体分布的假设检验

习题

§4 方差分析

统计假设

检验方法

基本假设的显著性检验

习题

§5 一元正态线性回归分析

一元正态线性回归分析的数学模型

未知参数的点估计

估计量？,？和s2的分布

未知参数a,b和σ2的区间估计

回归方程的显著性检验

预测和控制

习题

附录

附表1 Poisson分布表

附表2 标准正态分布数值表

附表3 t（n）分布的上临界值表

附表4 x2分布的上临界值表

附表5（一） F分布的上临界值表

附表5（二） F分布的上临界值表