1 预备知识

1—1．向量空间

1—2．线性变换和特征向量

1—3．定向和叉积

1—4．直线、平面和球面

1—5．向量微积分

2 局部曲线理论

2—1．基本定义和例子

2—2．弧长

2—3．曲率和Frenet—Serret标架

2—4．Frenet—Serret定理和推论

2—5．曲线的存在唯一性基本定理

2—6．非单位速率曲线

3 平面曲线的整体理论

3—1．线积分和Green定理

3—2．平面曲线的旋转指标

3—3．凸曲线

3—4．等周不等式

3—5．四顶点定理

3—6．预习

4 局部曲面理论

4—1．基本定义和例子

4—2．曲面

4—3．第一基本形式和弧长

4—4．法曲率、测地曲率和Gauss公式

4—5．测地线

4—6．沿曲线的平行向量场和平行性

4—7．第二基本形式和Weingarten映射

4—8．主曲率、Gauss曲率、平均曲率和法曲率

4—9．Riemann曲率和Gauss著名定理

4—10．等距和曲面论基本定理

4—11．常数Gauss曲率曲面

5 空间曲线的整体理论

5—1．Fenchel定理

5—2．Fary—Milnor定理

5—3．全挠率

6 曲面的整体理论

6—1．简单曲率结果

6—2．测地坐标片

6—3．可定向性和角变分

6—4．Gauss—Bonnet公式

6—5．Gauss—Bonnet定理和Euler示性数

6—6．Jacobi—Hadamard定理

6—7．向量场指标

7 流形介绍

7—1．一些分析上的预备知识

7—2．流形——定义和例子

7—3．切向量和切空间

7—4．向量场和李（Lie）括号

7—5．映射的微分和子流形

7—6．流形上的线性联络

7—7．平行向量场和具有线性联络的流形上的测地线

7—8．Riemann度量、距离和曲率

附录：历史简记

参考文献