第1篇 复变函数

第1章 复数和复变函数

1.1 复数及其表示

1.1.1 复数的定义

1.1.2 复数的表示

1.2 复数的运算及其几何意义

1.2.1 复数的四则运算

1.2.2 复数的乘方和方根

1.2.3 共轭复数及其性质

1.2.4 曲线的复数方程

1.3 平面点集和区域

1.3.1 复平面上的点集

1.3.2 区域与简单曲线

1.4 复变函数

1.4.1 复变函数的概念

1.4.2 曲线在映射下的像

1.5 复球面与无穷远点

1.5.1 复球面

1.5.2 扩充复平面上的几个概念

习题1

第2章 解析函数

2.1 复变函数的极限和连续

2.1.1 复变函数的极限

2.1.2 复变函数的连续性

2.2 解析函数的概念

2.2.1 复变函数的导数和微分

2.2.2 解析函数的概念

2.3 函数解析的充要条件

2.3.1 柯西-黎曼条件

2.3.2 可导的充要条件

2.4 调和函数

2.4.1 调和函数

2.4.2 解析函数与调和函数的关系

2.4.3 正交曲线族

2.5 初等解析函数

2.5.1 指数函数

2.5.2 对数函数

2.5.3 幂函数

2.5.4 三角函数与双曲函数

2.5.5 反三角函数与反双曲函数

习题2

第3章 复变函数的积分

3.1 复变函数的积分

3.1.1 复变函数积分的概念

3.1.2 复变函数积分的计算

3.1.3 积分的基本性质

3.2 柯西定理

3.2.1 单连通区域的柯西定理

3.2.2 原函数与不定积分

3.2.3 柯西定理的推广

3.3 柯西积分公式和高阶导数公式

3.3.1 柯西积分公式

3.3.2 解析函数的高阶导数公式

3.4 柯西积分公式的推论

3.4.1 莫累拉（Morera）定理

3.4.2 平均值公式

3.4.3 柯西不等式

3.4.4 刘维尔（Liouville）定理

3.4.5 最大模定理

习题3

第4章 解析函数的级数展开

4.1 复级数的概念

4.1.1 复数列的极限

4.1.2 复数项级数

4.1.3 复函数项级数

4.2 幂级数

4.2.1 幂级数的概念

4.2.2 收敛圆与收敛半径

4.2.3 幂级数的运算和性质

4.3 解析函数的泰勒级数展开

4.3.1 解析函数的泰勒展开式

4.3.2 初等函数的泰勒展开式

4.4 解析函数的罗朗级数展开

4.4.1 罗朗级数的概念

4.4.2 函数的罗朗展开式

4.5 解析函数的孤立奇点与分类

4.5.1 孤立奇点

4.5.2 可去奇点

4.5.3 极点

4.5.4 本性奇点

4.5.5 函数在无穷远点的性态

习题4

第5章 留数及其应用

5.1 留数及其计算

5.1.1 留数的概念

5.1.2 留数的计算

5.1.3 留数定理

5.2 留数在某些定积分计算中的应用

5.2.1 形如∫2π0R（cosθ, sinθ）dθ的积分

5.2.2 形如∫＋∞P（x）/-∞Q（x）dx的积分

5.2.3 形如∫+∞-∞f（x）eiλx dx的积分

5.2.4 实轴上有奇点的积分

习题5

第6章 保形映射

6.1 保形映射的概念

6.1.1 导数的几何意义

6.1.2 保形映射的概念

6.1.3 关于保形映射的几个一般性定理

6.2 分式线性映射

6.2.1 平移映射和相似映射

6.2.2 反演映射

6.2.3 分式线性映射及其性质

6.3 几个典型的分式线性映射

6.3.1 把上半平面映射成上半平面的分式线性映射

6.3.2 把上半平面映射成单位内部的分式线性映射

6.3.3 把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射

6.4 几个初等函数所构成的映射

6.4.1 幂函数与根式函数

6.4.2 指数函数与对数函数

6.4.3 儒可夫斯基函数

习题6

第2篇 积分变换

第7章 傅里叶变换

7.1 傅里叶积分公式

7.1.1 傅里叶级数

7.1.2 傅里叶积分公式

7.2 傅里叶变换

7.2.1 傅里叶变换的定义

7.2.2 余弦与正弦傅里叶变换

7.3 广义傅里叶变换

7.3.1 δ函数

7.3.2 基本函数的广义傅里叶变换

7.4 傅里叶变换与逆变换的性质

7.4.1 傅里叶变换的基本性质

7.4.2 傅里叶变换的卷积与卷积定理

7.4.3 傅里叶变换的应用

习题7

第8章 拉普拉斯变换

8.1 拉普拉斯变换的概念

8.1.1 拉普拉斯变换的存在性

8.1.2 常用函数的拉普拉斯变换

8.1.3 拉普拉斯变换的积分下限

8.2 拉普拉斯变换的性质

8.2.1 拉普拉斯变换基本性质

8.2.2 拉普拉斯变换的卷积性质

8.3 拉普拉斯逆变换

8.3.1 复反演积分公式

8.3.2 利用留数定理求拉普拉斯逆变换

8.4 拉普拉斯变换的应用

8.4.1 利用拉普拉斯变换求线性微分（积分）方程

8.4.2 用拉普拉斯变换求广义积分

习题8

第3篇 数学物理方程

第9章 数学物理方程的导出及定解问题

9.1 数学物理方程的导出

9.1.1 弦振动方程

9.1.2 膜振动方程

9.1.3 热传导方程

9.1.4 静电场方程

9.2 定解条件及定解问题

9.2.1 初始条件

9.2.2 边界条件

9.2.3 定解问题及其适定性

9.3 线性问题的叠加原理与齐次化原理

9.3.1 线性偏微分方程的叠加原理

9.3.2 齐次化原理

习题9

第10章 求解数学物理方程的分离变量法

10.1 一维波动方程

10.1.1 第一类齐次边界条件

10.1.2 第二类齐次边界条件

10.1.3 解的物理意义

10.2 一维热传导方程

10.2.1 第一类齐次边界条件

10.2.2 第三类齐次边界条件

10.3 二维拉普拉斯方程

10.3.1 矩形域

10.3.2 圆域

10.4 非齐次方程的解法

10.4.1 固有函数法

10.4.2 特解法

10.5 非齐次边界条件的处理

习题10

第11章 行波法与积分变换法

11.1 行波法

11.1.1 无界弦的自由振动 达朗贝尔公式

11.1.2 解的物理意义

11.1.3 特征线及二阶线性偏微分方程的分类

11.1.4 非齐次方程求解

11.1.5 半无界弦的自由振动

11.2 积分变换法

11.2.1 傅里叶积分变换

11.2.2 拉普拉斯积分变换

习题11

习题答案

习题1

习题2

习题3

习题4

习题5

习题6

习题7

习题8

习题9

习题10

习题11

附录

附录1傅氏变换简表

附录2拉氏变换简表

参考文献