第一章 三维欧氏空间的曲线论

1 曲线 曲线的切向量 弧长

2 主法向量与从法向量曲率与挠率

3 Frenet标架Frenet公式

4 曲线在一点邻近的性质

5 曲线论基本定理

6 平面曲线的一些整体性质

6.1 关于闭曲线的一些概念

6.2 切线的旋转指标定理

6.3 凸曲线

6.4 等周不等式

6.5 四顶点定理

6.6 Cauchy-Crofton公式

7 空间曲线的整体性质

7.1 球面的Crofton公式

7.2 Fenchel定理

7.3 Fary-Milnor定理

第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何性质

1 曲面的表示 切向量 法向量

1.1 曲面的定义

1.2 切向量 切平面

1.3 法向量

1.4 曲面的参数变换

1.5 例

1.6 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面

2 曲面的第一、第二基本形式

2.1 曲面的第一基本形式

2.2 曲面的正交参数曲线网

2.3 等距对应 曲面的内蕴几何学

2.4 共形对应

2.5 曲面的第二基本形式

3 曲面上的活动标架 曲面的基本公式

3.1 省略和式记号的约定

3.2 曲面上的活动标架曲面的基本公式

3.3 Weingarten变换W

3.4 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近曲线

4 曲面上的曲率

4.1 曲面上曲线的法曲率

4.2 主方向 主曲率

4.3 Dupin标线

4.4 曲率线

4.5 主曲率及曲率线的计算总曲率 平均曲率

4.6 曲率线网

4.7 曲面在一点邻近处的形状

4.8 Gauss映射及第三基本形式

4.9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面

5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理

5.1 曲面的基本方程

5.2 曲面论的基本定理

6 测地曲率 测地线

6.1 测地曲率向量测地曲率

6.2 计算测地曲率的Liouville公式

6.3 测地线

6.4 法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系

6.5 应用

6.6 测地挠率

6.7 Gauss-Bonnet公式

7 曲面上向量的平行移动

7.1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分

7.2 绝对微分的运算性质

7.3 自平行曲线

7.4 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示

7.5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系

第三章 曲面的整体性质初步

1 曲面的整体表述

2 曲面上的Gauss-Bonnet公式

3 向量场

4 球面的刚性

5 极小曲面

6 完备曲面Hopf-Rinow定理

7 微分流形 黎曼流形

附录1 向量函数及其运算

1 向量代数

2 向量函数 极限

3 向量函数的微分

4 向量函数的积分

附录2 欧氏空间的点集拓扑

1 n维欧氏空间 开集 闭集

2 连续映射

3 连通集

4 紧致集

5 拓扑空间

5.1 拓扑空间的定义

5.2 拓扑空间中的闭集

5.3 拓扑结构的等价性

5.4 第二可列基公理

5.5 Hausdorff空间

5.6 连续映射 同胚映射

5.7 向量空间的拓扑

附录3 微分几何的发展简史

索引