第一篇 一元函数微积分

第一章 极限与连续

1 函数

函数的概念

函数的图像

函数的性质

复合函数

反函数

初等函数

习题

2 数列的极限

几个例子

无穷小量

无穷小量的运算

数列的极限

收敛数列的性质

单调有界数列

Cauchy收敛准则

子列

习题

3 函数的极限

自变量趋于有限值时函数的极限

极限的性质

单侧极限

自变量趋于无限时函数的极限

习题

4 连续函数

函数在一点的连续性

函数的间断点

初等函数的连续性

闭区间上连续函数的性质

无穷小和无穷大的连续变量

曲线的渐近线

习题

第二章 微分与导数

1 微分与导数的概念

一个实例

微分的概念

导数的概念

导数的意义

微分的几何意义

习题

2 求导运算

几个初等函数的导数

四则运算的求导法则

复合函数求导的链式法则

反函数的求导法则

基本初等函数的导数表

对数求导法

高阶导数

习题

3 微分运算

基本初等函数的微分公式

微分运算法则

一阶微分的形式不变性

隐函数求导法

由参数方程确定的曲线的斜率

微分的应用：近似计算

微分的应用：误差估计

习题

4 微分学中值定理

局部极值与Fermat定理

Rolle定理

微分学中值定理

Cauchy中值定理

习题

5 L′Hospital法则

0/0型的L′Hospital法则

∞/∞型的L′Hospital法则

其他不定型的极限

习题

6 Taylor公式

带Peano余项的Taylor公式

带Lagrange余项的Taylor公式

Maclaurin公式

习题

7 函数的单调性和凸性

函数的单调性

函数的极值

函数的最大值和最小值

函数的凸性

曲线的拐点

函数图像的描绘

习题

8 函数方程的近似求解

习题

第三章 一元函数积分学

1 定积分的概念、性质和微积分基本定理

面积问题

路程问题

定积分的定义

定积分的性质

原函数

微积分基本定理

习题

2 不定积分的计算

不定积分

基本不定积分表

不定积分的线性性质

第一类换元积分法（凑微分法）

第二类换元积分法

分部积分法

有理函数的积分

某些无理函数的积分

三角函数有理式的积分

习题

3 定积分的计算

分部积分法

换元积分法

数值积分

习题

4 定积分的应用

微元法

面积问题（直角坐标下的区域）

面积问题（极坐标下的区域）

已知平行截面面积求体积

旋转体的体积

曲线的弧长

旋转曲面的面积

曲线的曲率

由分布密度求分布总量

动态过程的累积效应

习题

5 反常积分

无穷限的反常积分

比较判别法

无界函数的反常积分

Cauchy主值积分

Γ函数

B函数

习题

第二篇 线性代数与空间解析几何

第四章 矩阵和线性方程组

1 向量与矩阵

向量

矩阵

矩阵的运算

分块矩阵及运算

习题

2 行列式

行列式的定义

行列式的性质

习题

3 逆矩阵

逆矩阵的概念与性质

用初等变换求逆矩阵

Cramer法则

习题

4 向量的线性关系

线性相关与线性无关

与线性关系有关的性质

习题

5 秩

向量组的秩

矩阵的秩

习题

6 线性方程组

齐次线性方程组

非齐次线性方程组

Gauss消元法

Jacobi迭代法

习题

第五章 线性变换、特征值和二次型

1 线性空间

线性空间

线性空间的基与坐标

基变换与坐标变换

习题

2 线性变换及其矩阵表示

几种简单的几何变换

线性变换

线性变换的运算

线性变换的矩阵表示

不同基下表示矩阵的关系

习题

3 特征值问题

矩阵的特征值和特征向量

特征值和特征向量的性质

可对角化的矩阵

Jordan标准形简介

线性变换的特征值和特征向量

习题

4 内积与内积空间

Euclid空间

正交基

正交矩阵和正交变换

酉空间、酉矩阵和酉变换

内积空间

习题

5 正交相似和酉相似

对称矩阵、Hermite矩阵和正规矩阵

正交相似

酉相似

习题

6 二次型及其标准形式

一个例子

二次型与对称矩阵

化二次型为标准形的几种方法

习题

7 正定二次型

惯性定理

正定二次型和正定矩阵

用Cholesky分解解线性方程组

二次曲线的分类

习题

第六章 空间解析几何

1 向量的内积、外积和混合积

空间直角坐标系

向量

向量的内积和外积

向量的混合积

习题

2 平面和直线

平面方程的几种形式

直线方程的几种形式

平面束

点到平面、直线的距离

交角

习题

3 曲面、曲线和二次曲面

曲面方程

曲线方程

二次曲面

习题

常用的平面曲线

部分习题答案与提示