第○章 导读——改革解题训练

0-1波利亚式的学生

0-2数学创造的心智活动规律

0-3努力克服传统教学方法中的弊端

0-4怎样解题

0-5对怎样使用《指导》的建议

0-6几个常用数学符号的意义

第一章 函数与极限

1-1函数

Ⅰ内容提要

（1）函数的定义

（2）函数可能具有的几种重要几何特性

（3）反函数的定义

（4）复合函数的定义

（5）初等函数

（6）非初等函数

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）确定函数的定义域和值域

（2）函数符号的运用

（3）按定义证明函数的几何特性

（4）求已知函数的反函数

（5）函数的作图（制曲线）法

（6）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

1-2数列的极限

Ⅰ内容提要

（1）数列极限的定义

（2）收敛数列的基本性质

（3）数列极限存在的判别法

（4）数列极限的四则运算法则

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）根据定义验证极限

（2）应用极限运算法则求极限

（3）应用数列极限存在的判别法，证明或计算数列的极限

（4）应用重要极限lim n→∞ （1+1/n）n=e求极限

（5）求通项由递推关系式给出的数列的极限

（6）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

1-3函数的极限

Ⅰ内容提要

（1）函数极限的定义

（2）函数极限的性质

（3）函数极限存在的判别法

（4）函数极限的四则运算法则

（5）两个重要极限

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）根据定义验证函数的极限

（2）应用函数极限存在的判别法则求极限

（3）应用极限的四则运算法则求极限

（4）应用两个重要极限求极限

（5）应用变量代换方法求极限

（6）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

1-4无穷小量的比较

Ⅰ内容提要

（1）lim x→n α/β=A

（2）无穷小量代换定理

（3）当x→0时，有sinx～x，tgx～x，1-cosx～1/2x2，ex-1～x，ln（1+x）～x，〓1+x-1～1/2x

（4）高阶无穷小量

（5）K阶无穷小量

（6）符号：O（β），o（β）

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）证明在同一极限过程中的两个无穷小量是等价，同阶，或一个较另一个是高阶的无穷小量

（2）在同一极限过程中的几个无穷小量，取定一个作为比较的标准，问，其它无穷小量是它的几阶无穷小量？

（3）应用等价无穷小量代换定理求极限

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

1-5连续函数

Ⅰ内容提要

（1）连续函数的定义

（2）间断点

（3）连续函数的运算

（4）初等函数在它们的定义域上是连续的

（5）函数一致连续的定义

（6）在闭区间上连续函数的重要性质

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）根据定义证明函数的连续性和一致连续性

（2）函数连续性的研究

（3）在闭区间上连续函数性质的应用

（4）应用函数的连续性求极限

（5）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

1-6第一章参考题

第二章 微分学

2-1导数及其运算

Ⅰ内容提要

（1）导数的定义

（2）导数的几何意义

（3）函数在一点处可导与连续的关系

（4）求导数的方法

（5）高阶导数及其计算法

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）函数的导数概念

（2）求（计算）导数的方法

（3）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

2-2微分及其应用

Ⅰ内容提要

（1）微分的定义

（2）可微与可导的关系

（3）微分的几何意义

（4）微分的基本公式和运算法则

（5）微分形式的不变性

（6）高阶微分

（7）微分的应用

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）求函数在给定点处的增量和微分

（2）求函数的微分

（3）求高阶微分

（4）利用微分作近似计算

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

2-3中值定里

Ⅰ内容提要

（1）罗尔定理

（2）拉格朗日中值定理

（3）柯西中值定理

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）验证函数在给定区间上满足中值定理的条件和结论

（2）运用中值定理判断方程实根的个数以及实根所在的区间（根的分离）

（3）运用中值定理证明不等式

（4）运用中值定理进行推理证明

（5）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

2-4未定型极限、泰勒（Taylor）公式

Ⅰ内容提要

（1）求未定型的极限（罗必塔法则）

（2）泰勒公式

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）求未定型的极限（罗必塔法则）

（2）泰勒公式

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

2-5导数的应用

Ⅰ内容提要

（1）函数的增减性与极值

（2）函数在区间上的最大值和最小值

（3）曲线的凹凸与拐点

（4）曲线的渐近线

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）讨论函数的单调增减性和极值

（2）最大、最小值问题

（3）求函数图形的拐点

（4）作函数的图形

（5）证明不等式

（6）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

2-6第二章参考题

第三章 不定积分

3-1不定积分的概念与计算方法

Ⅰ内容提要

（1）原函数与不定积分的概念

（2）基本积分公式

（3）不定积分的基本性质

（4）基本积分法

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）直接积分法

（2）换元积分法

（3）分部积分法

（4）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

3-2几类特殊初等函数的积分法

Ⅰ内容提要

（1）有理函数的积分法

（2）三角函数有理式的积分法

（3）简单无理函数的积分法

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）有理函数的积分

（2）三角函数有理式的积分

（3）简单无理函数的积分

（4）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

3-3第三章参考题

第四章 微分方程初步

4-1微分方程的基本概念、一阶微分方程

Ⅰ内容提要

（1）微分方程的基本概念

（2）一阶微分方程

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）可分离变量的微分方程的解法

（2）一阶线性方程的解法

（3）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

4-2二阶微分方程

Ⅰ内容提要

（1）二阶微分方程的概念

（2）三类可降阶的二阶微分方程

（3）二阶线性微分方程的基本概念

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）可降阶的二阶微分方程的解法

（2）二阶常系数线性齐次微分方程的解法

（3）二阶常系数线性非齐次微分方程的求解步骤

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

4-3第四章参考题

第五章 定积分

5-1定积分的概念与性质

Ⅰ内容提要

（1）定积分的定义

（2）三类可积函数

（3）定积分∫b a f（x）dx的几何意义

（4）定积分的基本性质

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）用定义计算定积分

（2）定积分的几何意义，应用定积分的性质估值

（3）证明积分不等式的方法

（4）定积分中的证明题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

5-2定积分的计算

Ⅰ内容提要

（1）变上限的定积分

（2）牛顿-莱布尼兹公式

（3）换元积分法

（4）分部积分法

（5）常用的公式

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分

（2）换元积分法

（3）分部积分法

（4）被积函数含绝对值或分段函数的积分法

（5）变上限的积分与有关函数、函数值、极限的求法

（6）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

5-3定积分的应用

Ⅰ内容提要

（1）定积分的几何应用举例

（2）定积分在物理上的应用举例

Ⅱ解题方法分类指导与范例

（1）平面图形的面积

（2）求体积

（3）曲线的弧长与旋转体的表面积

（4）定积分在物理、力学等方面的应用

（5）综合题

Ⅲ课堂练习题及其说明

Ⅳ补充题

5-4第五章参考题

附录

1988年硕士研究生招生考试全国统一试题

Ⅰ高等数学（一）

Ⅱ高等数学（二）

Ⅲ高等数学（三）

Ⅳ高等数学（四）

Ⅴ高等数学（五）