第一章 数学物理方程的导出

1 引言

2 迁移方程导出数学物理方程

2.1 一般迁移方程

2.2 流体力学方程且

2.3 热传导方程

习题

3 Hamilton原理与数学物理方程

3.1 Hamilton原理与极小势能

3.2 变分问题的Euler方程

3.3 弦振动与膜振动方程

3.4 位势方程与极小曲面方程

习题

第二章 一些经典解法

1 无界弦的振动

1.1 D Alembert公式

1.2 半无界弦的振动

习题

2 分离变量方法

2.1 两端固定弦的振动

2.2 常微分方程的本征值问题

习题

3 分离变量法的实例

3.1 热传导方程第二边值条伯的初边值问题

3.2 圆域上的Laplace方程的Dirichlet问题

习题

4.1 一阶线性偏微方程

4 特征方法

4.2 一阶拟性偏微分方程

习题

5 特征方法在非线性问题中应用举例

5.1 人口分布问题

5.2 交流流问题

习题

第三章 偏微方程

1 一般概念与适定性

2 Caychy-Kowalewski定理

3 Hadamard的反例与Lewy的反例

3.1 Hadamard的反例

3.2 Lewy的反例

4 方程的分类

习题

5 两个自变量二阶方程的简化

习题

6 叠加原理与齐次化原理

6.1 叠加原理

6.2 Duhamel原理

习题

第四章 椭圆型方程

1 广义函数的概念

1.1 集中分布

1.2 广义函数的定义

1.3 广义函数的导数

1.4 广义函数的支集

习题

2.1 基本解

2 基本解与Green函数

2.2 Green函数

习题

3 应用Geen函数求定解问题例

习题

4 极值原理

习题

5 第二边值问题解的唯一性

习题

6 调和函数的性质

习题

第五章 抛物型方程

1 广义函数的Fourier变换

习题

2.1 热传导方程的基本解

2 Cauchy问题

2.2 Cauchy问题

习题

3 初边值问题的极值原理

习题

4 Cauchy问题的先验估计

习题

5 热传导方程初边值问题

习题

第六章 双典型方程

1 基本解及Cauchy问题

1.1 波动方程的基本解

1.2 Cauchy问题的解

习题

2 广义解

2.1 降维法

2.2 Huygens现象

习题

3 能量积分及唯一性与稳定性

3.1 初边值问题的能量积分

3.2 Cauchy问题的能量不等式

习题

4 特征概念

习题

第七章 变分方法及广义解

1 Hilbert空间及Sobolev空间

1.1 Hilbert空间

1.2 Riesz表示定理

习题

2 广义解

习题

3 广义解的适定性

习题

4 近似解法

4.1 Ritz方法

4.2 Galerkin方法

4.3 进一步的应用

习题

5 有限元方法介绍

习题

附录 Sturm-Liouville问题