第一编 数论编

第一章 麦比乌斯函数的提出与性质

1 一道美国数学奥林匹克试题

2 麦比乌斯其人

3 麦比乌斯函数的提出

4 一道涉及麦比乌斯函数的国家集训队试题

5 曼戈尔特函数∧（n）

6 麦比乌斯函数的两个简单性质

7 麦比乌斯函数的积性

8 麦比乌斯反演定理

9 麦比乌斯反演公式的推广

10 麦比乌斯变换的多种形式

第二章 应用举例

1 麦比乌斯函数与分圆多项式

2 麦比乌斯变换与概率

3 麦比乌斯函数与序列密码学

4 麦比乌斯函数与数的几何

5 麦比乌斯函数与数论函数的计算和估计

6 麦比乌斯函数与算术级数中的缩集

第三章 练习与征解问题

1 几个简单练习

2 一组例题

3 三个《美国数学月刊》征解问题

4 两个稍难问题

5 一组练习题

第四章 麦比乌斯函数在解析数论中的应用

1 解析数论是数论吗

2 埃拉托塞尼筛法

3 麦比乌斯函数与π（x）的上界估计

4 麦比乌斯函数与三角和估计

5 哈代与麦比乌斯变换

6 一个解析数论引理的证明

7 麦比乌斯变换与数论函数的均值

8 解析数论中的几个涉及麦比乌斯函数的引理

9 麦比乌斯函数与迪利克雷级数

10 数论函数的贝尔级数

11 麦比乌斯变换与切比雪夫定理

12 麦比乌斯变换与素数定理

13 麦比乌斯函数与黎曼猜想

14 麦比乌斯函数与哥德巴赫猜想

15 王元得到的关于整值多项式的某些性质

16 谢盛刚得到的关于三生殆素数的分布的结果

17 麦比乌斯变换与埃尔朗根纲领

第五章 短区间中的达文波特定理

1 结果的陈述

2 若干引理

3 定理3的证明

4 定理4的证明

第二编 组合编

第六章 麦比乌斯反演公式

1 近代组合学中的麦比乌斯反演

2 用麦比乌斯反演公式解可重圆排列的计数问题

3 数列的反演公式

4 高斯系数与麦比乌斯反演

5 兰伯特级数与麦比乌斯函数

6 米塔-列夫勒多项式

第七章 麦比乌斯反演公式的应用

1 麦比乌斯反演与编码理论

2 麦比乌斯变换与跳频通信

3 麦比乌斯变换与有限典型群

4 麦比乌斯反演与图论

5 互反μ函数偶与一般的反演公式

6 合流与切比雪夫多项式

7 波赫哈默尔-巴恩斯合流超几何函数

8 Fq［x］中不可约多项式的计数公式

第八章 偏序集上的麦比乌斯反演与组合计数

1 贝尔热论麦比乌斯反演

2 有限偏序集的麦比乌斯反演公式

3 计算麦比乌斯函数的技巧

4 格及其麦比乌斯代数

5 半模格的麦比乌斯函数

6 ζ多项式

7 秩选取

8 R-标号

9 偏序集上的麦比乌斯反演公式

第九章 麦比乌斯函数与非线性移位寄存器

1 麦比乌斯函数与非奇异移位寄存器

2 两个简单的移位寄存器的分析

3 非线性移位寄存器序列

4 非奇异移位寄存器

5 非线性移位寄存器的剪接理论

6 n-级纯轮换与反轮换非线性移位寄存器

第十章 密码学与凝聚态物理

1 麦比乌斯平面与消息认证码

2 麦比乌斯变换与凝聚态物理

3 量子物理学中的反演公式

第十一章 反演公式与麦比乌斯函数

1 第一反演公式

2 布置的格式数

3 偏序关系与麦比乌斯函数

4 麦比乌斯反演的一个应用——环状字的计数

5 习题

第十二章 表示论中的麦比乌斯反演公式

1 线性表示的定义和例子

2 练习

第十三章 反演公式的矩阵形式

1 三个初等反演公式

2 局部有限偏序集上的麦比乌斯反演公式

第三编 几何编

第十四章 平面几何中的麦比乌斯问题

1 一道美国数学竞赛中的平面几何题

2 麦比乌斯命题

3 一个加强命题

第十五章 复数的几何

1 高斯（或复）平面

2 复平面中的圆

3 麦比乌斯变换群

4 一道普特南竞赛题

5 保圆映照

6 等角变换

7 无穷远点

8 黎曼球面

9 交比

10 关于圆的反射

11 圆之位置及大小的确定

12 圆束

13 由两个反射产生的麦比乌斯变换

14 将一般的麦比乌斯变换表示为关于圆的反演之积

第十六章 欧氏几何、球面几何和非欧几何

1 圆丛

2 圆丛的圆之方程

3 关于一个丛中圆的反演的积

4 欧氏几何、球面几何以及非欧几何的刚体运动

5 距离不变式

6 球面三角

7 麦比乌斯与球面三角的历史

8 非欧三角

9 球面几何

10 椭圆几何

11 球面的转动

12 非欧几何

13 非欧运动

14 庞加莱半平面

15 弦和准弦距离

第十七章 麦比乌斯变换和反演

1 引言

2 反演

3 反演应用的三个例子

4 黎曼球面

5 麦比乌斯变换的基本结果

6 麦比乌斯变换作为矩阵

7 可视化与分类

8 分解为两个或四个反射

9 单位圆盘的自同构

10 补偿列紧理论与气体动力学方程组中的复数变换

11 习题

第十八章 麦比乌斯变换与希尔伯特的第22个问题

1 引言

2 黎曼曲面

3 富克斯群

4 一般的单值化定理

5 克莱因群

6 拟共形映照

7 克莱因群的拟共形变形

8 克贝群

9 麦比乌斯变换与塞尔猜想

第四编 复分析和拓扑编

第十九章 关于几道培训题的高等背景

1 引言

2 几道数学竞赛培训题

3 麦比乌斯变换与保角变换

4 一道西德竞赛题

5 施瓦兹引理

6 同时代的两位施瓦兹

7 一个伯克利问题

8 中国大学生夏令营试题

9 与非欧几何的联系

10 与多复变函数论的联系

11 复函数的逼近

12 与插值问题的联系

13 麦比乌斯变换在低阶占优不等式中的应用

第二十章 线性变换与罗巴切夫斯基几何

1 罗巴切夫斯基几何在圆上的欧几里得图象

2 给定附标的两点间的非欧距离的计算法

3 非欧几里得圆周

4 曲线的非欧长度

5 非欧几里得面积

6 远环

7 超环

8 罗巴切夫斯基几何在半平面上的欧几里得图象

第二十一章 再谈保形映射

1 线性映象

2 圆的性质

3 共轭点的不变性

4 确定分式线性映象的条件

5 特殊情形

6 共形映象理论的一般原理

7 习题

第二十二章 麦比乌斯变换与调和函数的几何理论

1 引言

2 旧事重提

3 实数形式

4 单位球的几何学

5 微分度量

6 微分算子

7 球坐标

8 泊松公式

9 建议了些什么

10 对称原理

11 拉普拉斯方程的不变性

第二十三章 麦比乌斯变换揭秘

1 引言

2 函数的可视化

3 麦比乌斯变换

4 麦比乌斯变换揭秘

5 麦比乌斯变换与比伯巴赫猜想

第二十四章 麦比乌斯变换与代数函数的迭代

1 代数函数的复合

2 分支点处的复合

3 迭代

4 麦比乌斯变换下的共轭

5 黎曼球面上的动力系统

第二十五章 麦比乌斯变换与施瓦兹导数

1 施瓦兹导数的来源

2 由另一种观点导出施瓦兹导数

3 第三种观点

4 几何的角度

5 施瓦兹导数的重要性质

6 亚纯函数与麦比乌斯变换的偏离

第二十六章 关于麦比乌斯变换的一点注记

1 引言

2 多复变复超球上的麦比乌斯变换

3 复超球上全纯函数在麦比乌斯变换下的展开

4 复超球上全纯映照在麦比乌斯变换下的展开

5 实超球上解析函数在实射影变换下的展开

6 实超球上解析函数在非欧运动变换下的展开

第二十七章 麦比乌斯与拓扑学

1 引子

2 拓扑学第一人

3 麦比乌斯带

4 莫斯科的麦比乌斯带

5 阿诺德的可视化作品

6 各领域中的麦比乌斯带

7 单侧边的麦比乌斯带

8 麦比乌斯传动带

9 麦比乌斯棋盘

10 麦比乌斯迷宫

11 麦比乌斯电阻

12 沿中线切开的麦比乌斯带

13 麦比乌斯带分割的圆环

14 麦比乌斯带分割的麦比乌斯雕塑

15 麦比乌斯分子

16 未解决的问题

第二十八章 麦比乌斯带与代数几何——格列菲斯论麦比乌斯带

1 一些简单的有边界的曲面

2 进一步考虑麦比乌斯带

3 习题

第二十九章 制作复杂的曲面

1 平面性区域

2 添加耳朵

3 非平面性曲面

4 扭转的识别

5 添加桥

6 欧拉数

7 克莱因瓶和投影平面

第三十章 曲面族

1 片和茧

2 环族及其亲属

3 平面性区域族和有柄球面族

4 一般的规划图？p,q,r

5 交换定理

6 在？p,q,r上添加片

7 识别曲面族的规则

第三十一章 完成曲面族的普查

1 引言

2 一些代数

3 基本定理

4 p,q,r的计算

5 曲面规划图的唯一性

第三十二章 组合不变量

1 重新镶拼一个纸曲面

2 纸复形

3 三角剖分

4 关于片的不变性定理

5 加细一种镶拼方式

6 镶拼方式及其加细的欧拉数

7 综合练习

第三十三章 数学的统一性

1 引言

2 三个例子

3 圆

4 奇偶性

5 模与丛

6 丛与算子

7 泛函分析

8 结束语

第三十四章 扭曲环带拓扑理论的研究

1 基本概念及定义

2 自然数列的扭曲环带的直观拓扑性质

3 扭曲环带经分裂后扭曲数的变化

4 偶数扭曲环带经分裂后环绕数与原环扭曲数的关系——互绕数的确定

5 奇数扭曲环带经分裂后环绕数与原环扭曲数的关系

6 扭曲环带的复合

7 奇数扭曲环带和偶数扭曲环带之间的相互转换

8 扭曲环带的特殊制作方法及其意义

9 扭曲环带与有关学科的关系及其应用

附录

附录Ⅰ A Limit Problem Involving the F.Smarandache Square Complementary

1 Introduction and Results

2 Proof of the Theorem

附录Ⅱ Schwarz's Lemma and Pick's Theorem

1 Schwarz's Lemma

2 Pick's Theorem

参考文献

编后语