第0章 一个分支过程的例子

0.0引言

0.1典型孩子（下一代）的个数X

0.2第n代个体的数目Zn

0.3利用条件期望

0.4消亡概率π

0.5停下来思考：测度

0.6我们的第一个鞅

0.7期望列的敛散性

0.8求M∞的分布

0.9具体的例子

A部分 基础

第1章 测度空间

1.0引言

1.1代数与σ-代数的定义

1.2例子：博雷尔（Borel）σ-代数，B （S）， B=B（R）

1.3有关集函数的定义

1.4测度空间的定义

1.5有关测度的定义

1.6引理：扩张的唯一性，π-系

1.7卡拉泰奥多里（Caratheodory）扩张定理

1.8 （（0，1]，B3（0，1]） 上的勒贝格（Lebesgue）测度Leb

1.9引理：基本不等式

1.10引理：测度的单调收敛性

1.11例子与告诫

第2章 事件

2.1试验的模型：（Ω，F，P）

2.2直观含义

2.3序偶（Ω， F）的例子

2.4几乎必然（a.s.）

2.5提醒：lim sup， lim inf， ↓lim，等等

2.6定义：lim sup En， （En， i。o.）

2.7博雷尔-肯泰利（Borel-Cantelli）第一引理（BC 1）

2.8定义：lim inf En， （En， ev）

2.9练习

第3章 随机变量

3.1定义：∑-可测函数，m∑，（m∑）+，b∑

3.2可测性基本命题

3.3引理：可测函数的和与积为可测

3.4复合函数可测性引理

3.5有关函数列的inf， lim inf等的可测性引理

3.6定义：随机变量

3.7例子：掷币

3.8定义：由Ω上的函数族所产生的σ-代数

3.9定义：分布，分布函数

3.10分布函数的性质

3.11具有给定分布函数的随机变量的存在性

3.12具有给定分布函数的随机变量的斯科罗霍德（Skorokhod）表示

3.13生成的σ-代数（一个讨论）

3.14单调类定理

第4章 独立性

4.1独立性的定义

4.2 π-系引理；更常见的定义

4.3博雷尔-肯泰利第二引理（B C2）

4.4例

4.5一个有关建模的基本问题

4.6一个掷币模型及其应用

4.7记号：IID的随机变量（RVs）

4.8随机过程：马尔可夫（Markov）链

4.9猴子敲出莎士比亚全集

4.10定义：尾σ-代数

4.11定理：柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov） 0-1律

4.12练习与告诫

第5章 积分

5.0符号及其他：μ（f）：=：？fdμ，μ（f；A）

5.1非负简单函数的积分，SF +

5.2 μ（f）（f ？ （m∑）+）的定义

5.3单调收敛定理（MON）

5.4有关函数的法都（Fatou）引理（FATOU）

5.5“线性”

5.6f的正部与负部

5.7可积函数，？1（S， ∑，μ）

5.8线性

5.9控制收敛定理（DOM）

5.10谢菲（Scheffe）引理（SCHEFFE）

5.11关于一致可积性

5.12标准机器

5.13子集上的积分

5.14测度fμ（f ？ （m∑）+）

第6章 期望

6.0引言

6.1期望的定义

6.2收敛性定理

6.3记号E（X；F）

6.4马尔可夫不等式

6.5非负随机变量和

6.6有关凸函数的詹森（Jensen）不等式

6.7？p范数的单调性

6.8施瓦兹（Schwarz）不等式

6.9 ？2空间：毕达哥拉斯（Pythagoras）定理、协方差及其他

6.10 ？p空间（1≤p ＜ ∞）的完备性

6.11正投影

6.12期望的“初等公式”

6.13从詹森不等式导出的赫尔德（Holder）不等式

第7章 一个简单的强大数定律

7.1“独立性意味着相乘”（又一例！）

7.2强大数定律（最初的版本）

7.3切比雪夫（Chebyshev）不等式

7.4魏尔斯特拉斯（Weierstrass）逼近定理

第8章 乘积测度

8.0引言和建议

8.1乘积可测结构∑1 × ∑2

8.2乘积测度，富比尼（Fubini）定理

8.3联合分布、联合概率密度函数

8.4独立性与乘积测度

8.5 B（R） n=B（Rn）

8.6 n重扩张

8.7概率空间的无穷乘积

8.8关于联合分布存在性的技术性注记

B部分 鞅论

第9章 条件期望

9.1一个启发性例子

9.2基本定理与定义（柯尔莫哥洛夫，1933）

9.3直观意义

9.4作为最小二乘最优预报的条件期望

9.5定理9.2的证明

9.6与传统表示的一致性

9.7条件期望的性质（一张表）

9.8 9.7节中诸性质的证明

9.9正则条件概率与概率密度函数

9.10在独立性假设下的条件化

9.11对称性的应用（一个例子）

第10章 鞅

10.1过滤的空间

10.2适应的过程

10.3鞅，上鞅，下鞅

10.4鞅的一些例子

10.5公平与不公平赌博

10.6可料过程，赌博策略

10.7一个基本原则：你无法改变这个系统！

10.8停时

10.9停止的上鞅仍是上鞅

10.10杜布（Doob）可选停止定理

10.11等待几乎必然要发生的事

10.12简单随机游动的击中时

10.13马尔可夫链的非负上调和函数

第11章 收敛定理

11.1图说明一切

11.2上穿

11.3杜布上穿引理

11.4推论

11.5杜布“向前”收敛定理

11.6告诫

11.7推论

第12章 ？2中的有界鞅

12.0引言

12.1 ？2中的鞅：正交增量性

12.2 ？2中的零均值独立随机变量之和

12.3随机信号

12.4一个对称化技巧：扩展样本空间

12.5柯尔莫哥洛夫三级数定理

12.6蔡查罗（Cesaro）引理

12.7克罗内克（Kronecker）引理

12.8方差约束下的强大数定律

12.9柯尔莫哥洛夫截尾引理

12.10柯尔莫哥洛夫强大数定律（SLLN）

12.11杜布分解

12.12尖括号过程（M）

12.13 （M）∞有限时M相应的收敛性

12.14一个有关？2中鞅的平凡“强大数定律”

12.15博雷尔-肯泰利引理的莱维（Levy）推广

12.16评论

第13章 一致可积性

13.1“绝对连续”性

13.2定义：一致可积族

13.3一致可积性的两个简单的充分条件

13.4条件期望的一致可积性

13.5依概率收敛

13.6有界收敛定理（BDD）的初等证明

13.7 ？1收敛的一个充要条件

第14章 一致可积（UI）鞅

14.0引言

14.1一致可积鞅

14.2莱维的“向上”定理

14.3柯尔莫哥洛夫0-1律的鞅证明

14.4莱维的“向下”定理

14.5强大数定律的鞅证明

14.6杜布的下鞅不等式

14.7重对数律：特殊情形

14.8有关正态分布的一个标准估计

14.9关于指数界的附注；大偏差理论

14.10赫尔德不等式的一个推论

14.11杜布的？p不等式

14.12有关“乘积”鞅的角谷（Kakutani）定理

14.13拉东-尼科迪姆（Radon-Nikodym）定理

14.14拉东-尼科迪姆定理与条件期望

14.15似然比与等价测度

14.16似然比与条件期望

14.17再回到角谷定理；似然比检验的相容性

14.18有关哈代（Hardy）空间的注记及其他（快速阅读！）

第15章 应用

15.0引言

15.1一个平凡的鞅表示结果

15.2期权定价；离散时间的布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）公式

15.3马比诺吉昂（Mabinogion）羊问题

15.4引理15.3（c）的证明

15.5 （15.3，d）中结果的证明

15.6条件概率的递归性

15.7有关二元正态分布的贝叶斯（Bayes）公式

15.8单个随机变量的含噪观察值

15.9卡尔曼-布西（Kalman-Bucy）滤波

15.10套紧的马具（harness）

15.11解开的马具1

15.12解开的马具2

C部分 特征函数

第16章 特征函数（CF）的基本性质

16.1定义

16.2基本性质

16.3特征函数的一些应用

16.4三个关键的结果

16.5原子

16.6莱维反演公式

16.7表

第17章 弱收敛性

17.1“漂亮”的定义

17.2一个“实用”的公式

17.3斯科罗霍德表示

17.4 Prob（R）的列紧性

17.5紧致性

第18章 中心极限定理

18.1莱维收敛定理

18.2记号0与O

18.3一些重要的估计

18.4中心极限定理

18.5例

18.6引理12.4的特征函数法证明

附录

A1章 第1章附录

A1.1 S1的一个不可测子集A

A1.2 d-系

A1.3邓肯（Dynkin）引理

A1.4唯一性引理1.6的证明

A1.5 λ-集：“代数”情形

A1.6外测度

A1.7卡拉泰奥多里引理

A1.8卡拉泰奥多里定理的证明

A1.9 （（0，1]，B（0，1]）上勒贝格测度存在性的证明

A1.10扩张不唯一之例

A1.11测度空间的完备化

A1.12贝尔（Baire）范畴定理

A3章 第3章附录

A3.1单调类定理3.14的证明

A3.2关于生成的σ-代数的讨论

A4章 第4章附录

A4.1柯尔莫哥洛夫重对数律

A4.2斯特拉森（Strassen）重对数律

A4.3一个马氏链模型

A5章 第5章附录

A5.1双重单调阵列

A5.2引理1.10（a）的关键应用

A5.3“积分的唯一性”

A5.4单调收敛定理的证明

A9章 第9章附录

A9.1无穷乘积：把事情说清楚

A9.2 （A9.1， e）的证明

A13章 第13章附录

A13.1收敛的方式：定义

A13.2收敛的方式：相互间关系

A14章 第14章附录

A14.1 σ-代数FT（T为一停时）

A14.2可选抽样定理（OST）的一个特例

A14.3杜布关于一致可积鞅的可选抽样定理

A14.4关于一致可积下鞅的结果

A16章 第16章附录

A16.1积分号下的微分法

E章 练习题

参考文献

索引

后记