第一章 Cauchy型积分

1 Cauchy型积分的意义

1.1 Cauchy型积分的定义

1.2 分区全纯函数

2 Plemelj公式

2.1 Cauchy主值积分

2.2 曲线上弧长与弦长的关系

2.3 H？lder条件

2.4 Cauchy主值积分存在的一个充分条件

2.5 Plemelj公式

3 Cauchy型积分边值的性质

3.1 ИpивaЛoв定理

3.2 Cauchy型积分边值的导数

4 核密度中含有参数的Cauchy主值积分和积分换序问题

4.1 核密度带参数的Cauchy主值积分

4.2 积分换序问题

4.3 Cauchy主值积分反演公式

5 无穷直线上的Cauchy型积分

5.1 ？类

5.2 实轴上的Cauchy型积分及其性质

6.1 全纯函数边值的条件

6 解析函数边值的条件

6.2 亚纯函数边值的条件

7 高阶奇异积分和留数定理的推广

7.1 Cauchy定理的推广

7.2 高阶奇异积分

7.3 留数定理的推广

第二章 封闭曲线情况下的基本边值问题

1 引言

1.1 Riemann边值问题的提法

1.2 跳跃问题及其解法

2.1 齐次R问题与指标概念

2 齐次Riemann边值问题

2.2 齐次R问题的解法--简单情况

2.3 典则函数

2.4 齐次R问题的解法--一般情况

3 非齐次Riemann边值问题

3.1 非齐次R问题的求解

3.2 相联R问题

4 无穷曲线上的Riemann边值问题

4.1 实轴上的R问题

4.2 几点说明

5.1 齐次问题

5 非正则型的Riemann边值问题

5.2 非齐次问题

6 Hilbert边值问题

6.1 问题的提法

6.2 单位圆内的函数在圆外的对称扩张

6.3 单位圆的H问题

6.4 半平面中的H问题

7 复合边值问题

7.1 复合边值问题的提法与转化

7.2 RH问题的求解

8.1 周期Riemann边值问题的提法与转化

8 周期边值问题

8.2 齐次PR问题

8.3 非齐次PR问题

8.4 周期Hilbert问题

9 双周期Riemann边值问题

9.1 椭圆函数

9.2 双周期Riemann边值问题的提法与跳跃问题的解法

9.3 一般DR边值问题的解法

10 双准周期的Riemann边值问题

10.1 双准周期解析函数

10.2 加法双准周期的R问题

10.3 乘法双准周期的R问题

第三章 封闭曲线情况下的奇异积分方程

1 Cauchy核的奇异积分方程和奇异算子

1.1 一般概念

1.2 奇异算子的性质

2 特征方程及其相联方程的解法

2.1 特征方程的解法

2.2 特征方程的相联方程的解法

2.3 特征方程的Noether定理

3.1 奇异积分方程的正则化

3 奇异积分方程的正则化及一般的Noether定理

3.2 Noether定理

4 含周期核的奇异积分方程

4.1 Hilbert核的奇异积分方程

4.2 含ζ函数核的奇异积分方程

5 一类奇异积分方程的直接解法

5.1 引言

5.2 求解的一般方法

5.3 a(z)±b(z)无相同零点的正则型情况

5.4 a(z)±b(z)无相同零点的非正则型情况

5.5 a(z)±b(z)有相同零点的情况

5.6 一些应用

第四章 一般情况下的边值问题

1 Cauchy型积分在端点附近的性质

1.1 核密度属H类的情况

1.2 H？类函数

1.3 核密度属H？类时Cauchy型积分的性质

1.4 核密度属H？类是Cauchy主值积分的性质

1.5 积分路径具有结点的情况

2.1 开口弧段上的R问题

2 一般Riemann边值问题

2.2 带结点曲线上的R问题

2.3 相联R问题

2.4 几种重要特殊情况

3 间断系数的Hilbert边值问题

3.1 单位圆情况

3.2 半平面情况

4 其它边值问题

4.1 一般复合边值问题

4.2 一般的PR问题

4.3 开口弧段的DR问题

4.4 开口弧段的QR问题

1 特征方程及其相联方程

1.1 特征方程

第五章 一般情况下的奇异积分方程

1.2 相联方程

1.3 一般Cauchy主值积分的反演

2 完全奇异积分方程

2.1 正则化问题

2.2 正则化方程的讨论

2.3 一般情况下的Noether定理

3.1 曲线带结点的Hilbert核奇异积分方程

3 一般带周期核的奇异积分方程

3.2 一般Hilbert核积分的反演

3.3 实轴上的Hilbert核积分的反演

3.4 修改的反演问题

3.5 开口弧段上带ζ函数核的奇异积分方程

4 方程具一阶奇异性解的情况

4.2 Fredholm方程情况

4.2 Cauchy核奇异方程情况

4.3 特征方程及其相联方程的解

1 函数组的Riemann边值问题

1.1 一些记号与名称

第六章 函数组的边值问题与奇异积分方程组

1.2 齐次R问题化为Fredholm方程

1.3 齐次R问题的典则解组

1.4 齐次R问题的一般解与指标

1.5 函数组的相联齐次R问题

1.6 函数组的非齐次R问题

2 函数组的Hilbert边值问题和复合边值问题

2.1 典则矩阵的一般表示

2.2 函数组的齐次H问题

2.3 函数组的非齐次H问题

2.4 函数组的RH问题

3 奇异积分方程组

3.1 特征奇异积分方程组

3.2 特征方程的相联方程

3.3 完全奇异积分方程组及其正则化

3.4 奇异积分方程组的Noether定理

4 某些直接有效解法

4.1 有理系数矩阵的R问题

4.2 核与系数具解析性的奇异积分方程组

4.3 解析核密度的奇异积分的反演

1.1 分式线性变换群

1 与某些分式线性变换群相联系的边值问题与奇异积分方程

第七章 其它问题

1.2 与有限分式线性变换群有关的Riemann边值问题

1.3 与有限分式线性变换群有关的奇异积分方程

2 带位移的边值问题和奇异积分方程

2.1 带位移的Riemann边值问题

2.2 保角粘合定理以及SR问题转化为R问题

2.3 其他带位移的边值问题

2.4 带位移的奇异积分方程

3 卷积型线性方程组

3.1 Laurent变换

3.2 (A)型方程组

3.3 (B)型方程组

4 Cauchy主值积分的近似计算

4.1 一个原则性方法

4.2 Gauss-Chebyshev型求积公式

4.3 用分段线性函数逼近Cauchy主值积分

附录 有关Fredholm积分方程的结果

1.Fredholm定理

2. 预解核

3.推广

参考文献

索引