目 录

序

第一章代数预备知识

§1.1张量代数

§1.2张量

§1.3外代数

§1.4Hodgθ星号算子*

§1.5李代数的基本概念

第二章微分流形

§2.1微分流形的定义

§2.2光滑流形之间的映射

§2.3切空间

§2.4子流形

§2.5嵌入定理

§2.6 Frobθnius定理

第三章外微分

§3.1切丛和外微分形式

§3.2外微分

§3.3单位的剖分定理

§3.4微分流形的定向

§3.5微分流形上的积分

§3.6 Dθ Rham群

§4.1李群的定义

第四章李群初步

§4.2 Maurer-Cartan形式

§4.3右不变矢量场的局部表示

§4.4李群的基本问题

§4.5单参数子群和指数映射

§4.6李群上的积分

§4.7李群的闭子群

§4.8李氏变换群

§4.9李导数，李代数的伴随表示

§4.10主丛

§4.11活动标架法

§5.1主丛上的连络

第五章连络论

§5.2线性标架丛上的连络

§5.3流形上的仿射连络

§5.4仿射连络的局部性质

§5.5矢量丛上的连络

§5.6和乐群和Ambrose-Singer定理

第六章黎曼流形

§6.1黎曼尺度

§6.2黎曼流形上的连络和曲率

§6.3欧几里德空间的子流形

§6.4测地线

§6.5黎曼流形上的凸邻域

§6.6黎曼流形的完备性

§6.7黎曼流形上的余微分算子

§6.8黎曼流形容许的变换群

§6.9对称的黎曼流形

§6.10黎曼流形的子流形

第七章复流形

§7.1实矢量空间的复结构

§7.2厄密特尺度

§7.3殆复流形

§7.4殆复结构的挠率张量

§7.5殆复结构的无穷小自同构

§7.6殆复流形上的连络

§7.7厄密特流形与凯勒流形

§7.8相对于局部坐标系的凯勒尺度

§7.9全纯截面曲率

§7.10凯勒流行的实例

§7.11算子L,？及其应用

§7.12陈示性类

第八章Jacobi场和比较定理

§8.1 Jacobi场

§8.2第一、第二变分公式

§8.3第一比较定理

§8.4焦点，第二比较定理

§8.5 Toponogov定理

§8.6黎曼曲率的几何意义

§8.7 Morse指标定理

第九章层论和de Rham定理

§9.1层的定义

§9.2预层

§9.3好层

§9.4上链复形

§9.5层上同调论的公理化定义

§9.6层上同调论的唯一性

§9.7 de Rham上同调论

§9.8奇异上同调论

§9.9 de Rham定理的证明

§9.10 Cech上同调论

§9.11 Dolbeault定理

第十章Hodge分解定理的证明

10.1前言

10.2分析上的预备知识和符号

10.3 Sobolev空间

10.4 Sobolev引理的证明

10.5线性微分算子

10.6椭圆算子

10.7定理A的证明

10.8定理B的证明

10.9 定理A,B在Laplace-Beltrami算子上的应用

参考书目

名词索引