序言

第一章 复变解析函数

1.1 虚数的产生，i的引入

1.2 复数及其几何表示

1°. 复数概念

2°. 复数在平面上的表示

3°. 无穷远点

4°. 复数在球面上的表示

5°. 球极平面投影变换公式

习题(1.1)

1.3 平面点集

1°. 邻域和开集合

2°. 凝聚点，孤立点

3°. 两集合间的距离、集合的直径

4°. B.-W.定理、H.-B.定理

5°. Jordan曲线

6°. 区域

1.4 复变函数

1°. 函数概念

2°. 极限

3°. 连续性

4°. 一致连续性

1.5 解析函数及C.-R.方程

1°. 导数

2°. 解析函数

3°. C.-R.方程

习题(1.2)

第二章 初等复变函数

2.1 初等代数函数和初等超越函数

1°. 代数函数和代数显函数

2°. 超越函数和初等超越函数

2.2 单叶解析函数

2.3 幂函数w=zn与根式函数

1°. 幂函数w=zn，n为正整数

2°. 根式函数w=？，z≠0，n为大于1的整数

3°. 函数w=？

2.4 函数w=？及其反函数

2.5 指数函数与对数函数

1°. 指数函数ez

2°. 对数函数Lnz

2.6 三角函数和反三角函数

1°. 三角函数

2°. 反三角函数

3°. 双曲函数与反双曲函数

2.7 一般的指数函数和幂函数

1°. 任意指数的幂

2°. 一般的指数函数az,a≠0

3°. 一般的幂函数z?,z≠0,μ是任意的复数

习题(2.1)

第三章 复变函数积分和Cauchy理论

3.1 复变函数积分及其基本性质

1°. 复变函数积分概念和基本性质

2°. 复变函数积分的计算举例

习题(3.1)

3.2 Cauchy积分定理

1°. Cauchy积分定理及其Goursat证明

2°. Cauchy定理(复连通区域的情形)

3°. 不定积分

4°. 再论对数函数的定义

3.3 Cauchy积分公式

1°. Cauchy积分公式(边唯一性定理)

2°. Cauchy积分公式的推论

3°. Cauchy积分公式的推广

4°. 最大模原理

3.4 高阶导函数的存在

1°. 解析函数的无穷可微性

2°. Morera定理及Goursat定理

3°. Cauchy不等式与Liouville定理

4°. 代数基本定理的证明

习题(3.2)

第四章 解析函数的级数表达式

4.1 函数项级数的基本性质

1°. 常数项级数

2°. 函数项级数的一致收敛性

3°. Weierstrass定理

4.2 解析函数的幂级数表达式

1°. 幂级数和Abel定理

2°. 幂级数的收敛半径

3°. 幂级数和函数的解析性

4°. 解析函数的幂级数展开式和唯一性

5°. 解析函数展开成幂级数的方法举例

4.3 用多项式逼近函数

1°. 解析函数用多项式来逼近

2°. 解析函数的封闭性

3°. 关于解析函数的等价定义

4.4 内部唯一性定理、零点的孤立性

1°. 解析函数内部唯一性定理

2°. 解析函数零点的孤立性

习题(4.1)

4.5 解析函数的Laurent级数表达式

1°. Laurent级数

2°. 解析函数的Laurent展开式

3°. 函数在无穷远点的Laurent展开式

4.6 解析函数在其孤立奇点邻域内的性质

1°. 孤立奇点的分类

2°. 解析函数在孤立奇点邻域的性质

3°. 有理函数的奇点

4.7 整函数与亚纯函数

1°. 整函数

2°. 亚纯函数

习题(4.2)

第五章 留数理论与应用

5.1 留数基本定理

1°. 函数在有限远点的留数

2°. 留数基本定理

3°. 函数在无穷远点的留数

习题(5.1)

5.2 围道积分

1°. 形如？R(x)dx的积分的计算

2°. 形如？R(sinx,cosx)dx的积分的计算

3°. 形如？R(x)eimxdx(m>0)的积分的计算

5.3 辐角原理、Rouché定理

1°. 对数留数

2°. 辐角原理

3°. Rouché定理

4°. Rouché定理的应用

习题(5.2)

第六章 共形映射

6.1 共形映射概念

1°. 解析函数的保域性

2°. 导函数的模与辐角的几何意义

3°. 共形映射概念

4°. 共形映射与解析函数之间的关系

5°. 第二类共形映射

6.2 单叶解析函数的映射性质

1°. 共形保域性

2°. 反函数的存在及其解析性

3°. 几个初等函数所构成的共形映射

6.3 Riemann映射定理

1°. 共形映射的基本问题

2°. Riemann映射定理

3°. 边界对应定理

6.4 分式线性映射

1°. 分式线性映射的共形性

2°. 分式线性映射的保圆性和对称点的不变性

3°. 唯一确定分式线性映射的条件

4°. 某些典型区域的共形映射

1)上半平面到上半平面的共形映射

2)上半平面到单位圆内部的映射

3)单位圆域到单位圆域的共形映射

4)圆域△R=｛z:|z|<R｝变到单位圆域△1=｛z:|z|<1｝的共形映射

习题(6.1)

6.5 简单区域间的共形映射举例

1°. 复合映射

2°. 简单区域间的共形映射举例

习题(6.2)

第七章 解析开拓与初等多值函数

7.1 解析开拓

1°. 解析开拓概念

2°. 来自实轴上的解析开拓

3°. 解析开拓的幂级数方法

4°. 沿连续曲线的解析开拓

5°. 奇点和自然边界

7.2 对称原理

1°. Painlevé原理

2°. 对称原理

7.3 多角形映射

1°. Schwarz-Christoffel公式

2°. 两种特殊情况

3°. Schwarz-Christoffel公式的证明

7.4 初等多值函数

1°. 多值函数概念

2°. 支点和支割线

7.5 Riemann面

习题(7.1)

第八章 复变函数理论在其他领域上的应用

8.1 调和函数

1°. 调和函数与解析函数的关系

2°. Poisson积分与调和函数的基本性质

3°. Laplace方程的边值问题

8.2 复变解析函数的物理意义和应用

1°. 复势

1) 平面场

2) 环流量与复速度

3) 源(汇)点、涡点

4) 复势

2°. 共形映射在求流动复势时的作用

3°. 飞机翼断面的绕流问题及升力的计算

附录Ⅰ 多复变函数

1°. 基本定义

2°. 多复变解析函数概念

3°. Cauchy积分公式

4°. 幂级数

5°. Taylor级数

附录Ⅱ 复数域的函数逼近

Ⅱ.1 解析函数的逼近

1°. 用有理函数逼近有理函数的逼近

2°. Runge定理

Ⅱ.2 多项式插值