第一章 消元法和行列式

1 消元法

1.1 线性方程组和消元法的基本思想

1.2 消元法

2 n阶行列式的定义

2.1 排列及其逆序数

2.2 n阶行列式的定义

3 n阶行列式的性质

3.1 n阶行列式的基本性质

3.2 按一行(列)展开

3.3 行列式的计算

4 克莱姆规则

4.1 克莱姆规则

4.2 齐次情形

第二章 线性方程组理论

5 n元向量

5.1 导引

5.2 n元向量及其运算

6 n元向量的线性相关性

6.1 线性组合

6.2 线性相关

6.3 线性组合与线性相关的关系

6.4 极大无关组与秩

7 矩阵的秩

7.1 矩阵的秩及其与矩阵的子行列式的关系

7.2 用初等变换求矩阵的秩

8 线性方程组的解

8.1 解的判定

8.2 三元一次方程组的解

9 线性方程组解的结构

9.1 基础解系

9.2 非齐次线性方程组解的结构

第三章 矩阵

10 矩阵的运算

10.1 矩阵的线性运算

10.2 矩阵的乘法

10.3 可逆矩阵

10.4 矩阵的转置与运算

11 初等矩阵

11.1 初等矩阵

11.2 初等矩阵与可逆矩阵

11.3 矩阵的等价

12 矩阵的分决

12.1 分块的运算

12.2 用分块矩阵讨论线性方程组

第四章 二次型

13 化二次型为平方和

13.1 用配方法化二次型为平方和

13.2 通过矩阵和初等变换化二次型为平方和

13.3 对称矩阵的合同

14 复二次型和实二次型

14.1 复二次型

14.2 实二次型

15 正定二次型

15.1 正定二次型的定义

15.2 正定二次型的判定

第五章 基本概念

16 集与映射

16.1 集的概念和运算

16.2 映射

17 运算

17.1 运算的定义

17.2 结合律和交换律

17.3 单位元和逆元

17.4 映射的合成

18 关系和等价关系

18.1 关系

18.2 等价关系

第六章 环与域

19 环

19.1 环的定义和例

19.2 环的简单性质

19.3 单位元与逆元

19.4 子环

20 几种特殊的环

20.1 整环

20.2 除环

20.3 域

21 商环和理想

21.1 商环

21.2 理想

22 环的同构与同态

22.1 环的同构

22.2 环的同态

22.3 环的同态基本定理

23 素理想与极大理想

23.1 素理想

23.2 极大理想

24 分式域

24.1 挖补定理

24.2 分式域

25 有序环与有序域

25.1 有序集

25.2 有序环与有序域

第七章 数系

26 自然数系

26.1 自然数的基本性质

26.2 自然数的序.数学归纳法

27 整数环

27.1 整数环的存在和唯一性

27.2 整数环的序

28 有理数域和复数域

28.1 有理数域

28.2 复数域

29 皮亚诺公理

29.1 自然数的皮亚诺公理

29.2 自然数集的唯一性

第八章 多项式环和因子分解

30 环R上的一元多项式环

30.1 一元多项式环的基本概念

30.2 带余除法

30.3 多项式的值和多项式的根

31 域上一元多项式环的整除性及因子分解

31.1 整除的概念和基本性质

31.2 因式分解

31.3 因式分解定理的作用

31.4 辗转相除法

32 重因式

32.1 重因式

32.2 重根

33 几个常见域上一元多项式的因式分解

33.1 复数域和实数域上一元多项式的因式分解

33.2 有限域上一元多项式的因式分解

34 整环的整除性及因子分解

34.1 整除的概念和基本性质

34.2 唯一分解整环

34.3 欧氏整环和主理想整环

35 整环上一元多项式环的整除性及因式分解

35.1 I[x]与F[x]在整除性上异同

35.2 唯一分解整环上的一元多项式环

35.3 有理数域上一元多项式的因式分解

36 多元多项式环

36.1 多元多项式的基本概念和基本性质

36.2 对称多项式

第九章 群

37 交换群的定义和性质

37.1 定义和简单性质

37.2 子群

37.3 加群的商群

37.4 加群的同构和同态

38 循环群

38.1 循环群的定义和例

38.2 循环群的子群与商群

39 有限加群

39.1 和与直和

39.2 有限加群的结构

40 加群的自同态环

40.1 加群的自同态环

40.2 循环群的自同态环

41 群的定义和性质

41.1 定义和简单性质

41.2 子群

42 变换群

42.1 交换群

42.2 置换群

43 商群和正规子群

43.1 商群

43.2 正规子群

第十章 向量空间与线性变换

44 向量空间

44.1 向量空间的定义和基本性质

44.2 基变换与坐标变换

44.3 向量空间的同构

45 向量空间的子空间

45.1 定义及判别

45.2 和与直和

45.3 商空间

46 线性变换

46.1 线性变换的定义和性质

46.2 线性变换代数

46.3 线性变换与矩阵

47 矩阵的相似标准形

47.1 矩阵的相似

47.2 不变子空间

47.3 特征根与特征向量

47.4 具有对角形矩阵的线性变换

47.5 若当标准形

第十一章 欧氏空间与正交变换

48 欧氏空间的基本概念

48.1 欧氏空间的定义与基本性质

48.2 向量的长度、夹角与距离

48.3 欧氏空间的内积与正定矩阵

49 标准正交基

49.1 正交化方法

49.2 欧氏空间的同构

49.3 正交矩阵

50 子空间的正交直和

50.1 正交子空间

50.2 最小二乘问题

51 正交变换

51.1 正交变换的定义与性质

51.2 正交矩阵的标准形

52 对称变换

52.1 对称变换的定义与性质

52.2 实对称矩阵的相似合同标准形

52.3 主轴问题

53 U空间与内积空间

53.1 U空间

53.2 内积空间