第一章复数与复变函数

§复数及其代数运算

1．复数的概念

2．复数的代数运算

目 录

§2复数的几何表示

1．复平面

2．复球面

§3复数的乘幂与方根

1．乘积与商

2．幂与根

1．区域的概念

§4 区域

2．单连域与多连域

§5复变函数

1．复变函数的定义

2．映射的概念

§6复变函数的极限和连续性

1．函数的极限

2．函数的连续性

第一章习题

第二章解析函数

§1解析函数的概念

1．复变函数的导数

2．解析函数的概念

§2函数解析的充要条件

§3解析函数与调和函数的关系

§4初等函数

1．指数函数

2．对数函数

3．乘幂αb与幂函数

4．三角函数和双曲函数

5．反三角函数与反双曲函数

§5平面场的复势

1．用复变函数表示平面向量场

2．平面流速场的复势

8．静电场的复势

第二章习题

第三章复变函数的积分

§1复变函数积分的概念

1．积分的定义

2．积分存在的条件及其计算法

3．性质

§2柯西-古萨基本定理

§3基本定理的推广——复合闭路定理

§4柯西积分公式

§5解析函数的高阶导数

第三章习题

1．数列的极限

第四章级数

§1复数项级数

2．级数概念

§2幂级数

1．幂级数概念

2．收敛圆与收敛半径1

3．收敛半径的求法

4．幂级数的运算和性质

§3泰勒级数

§4罗伦级数

第四章习题

1．可去奇点

§1孤立奇点

第五章留数

2．极点

3．本性奇点

4．函数的零点与极点的关系

5．函数在无穷远点的性态

§2留数

1．留数的定义及留数定理

2．留数的计算规则

3．在无穷远点的留数

§3留数在定积分计算上的应用

1．形如∫2π0 R（eosθ,sinθ）dθ的积分

2．形如∫ R（x）dx的积分

3．形如∫ R（x）eαixdx（α＞0）的积分

§4对数留数与辐角原理

1．对数留数

2．辐角原理

3．路西定理

第五章习题

第六章保角映射

§1保角映射的概念

1．解析函数的导数的几何意义

2．保角映射的概念

§2分式线性映射

§3唯一决定分式线性映射的条件

§4几个初等函数所构成的映射

1．幂函数w=2n（n是不小于2的自然数）

2．指数函数w=ez

3．儒可夫斯基函数

§5关于保角映射的几个一般性定理

§6许瓦尔兹-克力斯托夫映射

§7拉普拉斯方程的边值问题

第六章习题

附录Ⅰ 参考书目

附录Ⅱ区域的变换表

习题答案