第一章 一阶常微分方程

1 基本概念

1. 引论

2. 微分方程和它的解的定义

3. 微分方程的几何解释--方向场

4. 初始值问题的解的存在性和唯一性定理

2 简单的一阶方程的求解方法

1. 变量可分离的方程

2. 齐次方程

3. 线性方程，常数变易法

4. 贝努里方程

5. 黎卡提方程

6. 全微分方程

7. 积分因子

3 解的存在性和唯一性定理

1. 初始值问题的解的存在性和唯一性定理的证明

2. 解的延展

4 导数未解出的一阶微分方程

1. 引论

2. 奇解和包络

3. 关于x或t已解出的一阶微分方程x=f(t,x)或t=f(x,x)

4. 克来洛方程

5. 正交轨线

1 引论

第二章 常微分方程组

2 高阶微分方程的降阶

1. 不显含未知函数x的方程

2. 不显含自变量t的方程

3. 齐次方程

4. 全微分方程和积分因子

3 首次积分

4 自治系统的相轨线的一般性质

1. 自治系统

2. 一阶自治方程

1. 复值函数

1 引论

第三章 线性常微分方程组

2. 向量和矩阵

3. 标准的一阶线性微分方程组的向量形式

2 齐次线性微分方程组

1. 简单性质

2. 基本解组

3. 刘维尔公式

4. 高阶线性方程

3 常系数线性微分方程组

1. 高阶常系数线性微分方程的解法

2. 常系数线性微分方程组的解法

3. 常系数线性微分方程组的解的一些性质

4. 高阶常系数线性微分方程的解法(续)

5. 欧拉方程

4 非齐次线性微分方程组

1. 简单性质

2. 常数变易法

3. 高阶线性方程的常数变易法

4. 具有特殊类型自由项的常系数线性微分方程组的解法

5. 频率特性法(复数振幅法)

5 周期系数的线性微分方程

6 变系数的二阶线性微分方程的幂级数解法

1. 二阶线性系统的奇点的分类

7 二阶线性系统的奇点

2. 关于非线性系统的裴戎定理

第四章 稳定性

1 引论

2 解对参数和初始值的连续性定理

1. 解对参数的连续性定理

2. 解对初始值的连续性定理

3 解对参数和初始值的可微性定理

1. 解对参数的可微性定理

2. 解对初始值的可微性定理

4 解的稳定性的定义

5 李雅普诺夫的直接方法

1. 预备知识

2. 李雅普诺夫直接方法的基本定理

6 常系数线性微分方程组的解的稳定性

7 一次近似的理论

8 极限圈

1. 极限圈附近轨线的性质

2. 极限圈存在的判定法

第五章 一阶偏微分方程

1 引论

2 拟线性一阶偏微分方程

1. 拟线性一阶偏微分方程所定义的方向场和它的特征方程

2. 等价性定理

3. 柯西问题

3 全积分、通积分和奇积分

1. 曲面族的包络

2. 全积分、通积分和奇积分

3. 求全积分的例

4 相容方程组，求全积分的拉格朗日-夏比方法

1. 相容方程组

2. 法甫方程

3. 求全积分的拉格朗日-夏比方法

5 哈密顿--雅可比理论

1. n个自变量的一阶偏微分方程

2. 正则方程组

3. 两体问题