第一章 Banach空间上的非线性算子

1.1 Banach空间及线性算子

1.1.1 Banach空间和Hilbert空间

1.1.2 Banach空间的例子

1.1.3 有界线性算子

1.1.4 共轭空间

1.1.5 线性算子的谱

1.1.6 紧算子和Riesz-Schauder理论

1.1.7 Poincaré不等式和Sobolev嵌入定理

1.2 抽象函数的微积分

1.2.1 抽象函数的积分

1.2.2 抽象函数的微分

1.3 Fréchet可微性

1.4 Gateaux微分

1.5 几个例子

1.5.1 Nemytskii算子的连续性

1.5.2 Nemytskii算子的可微性

1.5.3 一个变分泛函

1.6 高阶导数与Taylor公式

1.7 隐函数定理

1.7.1 隐函数定理

1.7.2 常微分方程解的存在性

1.8 全局隐函数定理

1.8.1 全局隐函数定理

1.8.2 常微分方程的边值问题

1.9 分歧问题

1.9.1 Lyapunov-Schmidt过程

1.9.2 分歧定理

1.9.3 Hopf分歧定理

1.10 半序Banach空间

1.10.1 锥与半序

1.10.2 正泛函与共轭锥

1.11 上下解方法

1.12 混合单调算子

习题

第二章 拓扑度理论

2.1 Brouwer度的定义

2.1.1 Sard定理

2.1.2 C2映射的Brouwer度

2.1.3 Brouwer度的定义

2.2 Brouwer度的性质

2.2.1 Brouwer度的基本性质

2.2.2 Brouwer度的性质

2.2.3 简化定理与乘积公式

2.2.4 度理论的公理化

2.2.5 注记

2.3 Brouwer不动点定理与Borsuk定理

2.4 Leray-Schauder度

2.4.1 紧连续映射及其性质

2.4.2 全连续场与紧同伦

2.4.3 Leray-Schauder度的定义

2.4.4 Leray-Schauder度的性质

2.4.5 孤立零点的指数

2.5 不动点定理

2.5.1 Leray-Schauder不动点定理

2.5.2 范数形式的拉伸与压缩不动点定理

2.5.3 Borsuk定理

2.6 锥映射的拓扑度

2.7 重合度介绍

2.8 严格集压缩场和凝聚场的拓扑度

2.8.1 非紧性测度

2.8.2 严格集压缩场和凝聚场的拓扑度

2.9 全局分歧定理

习题

第三章 变分方法

3.1 极值原理

3.1.1 极值的必要条件

3.1.2 Euler-Lagrange方程

3.1.3 极值存在的条件

3.1.4 条件极值

3.1.5 Ekeland变分原理

3.1.6 Nehari技巧

3.2 极小极大原理

3.2.1 伪梯度向量场与形变引理

3.2.2 极小极大原理

3.3 ZZ2指标和畴数

3.3.1 ZZ2指标

3.3.2 ZZ2伪指标

3.3.3 畴数

习题

参考文献