第1章 一维问题有限元法

1.1 采用线性单元的稳定扩散问题有限元法计算

1.1.1 线性单元插值

1.1.2 单元划分

1.1.3 Galerkin原理

1.1.4 线性代数方程组的表达形式

1.1.5 Dirichlet边界处的热通量

1.1.6 用Diracδ函数表示的Galerkin有限元方程

1.1.7 Galerkin积分原理与有限差分法的关系

1.2 有限元装配

1.2.1 集成线性方程组

1.2.2 针对三对角系数矩阵的线性方程组的Thomas算法

1.2.3 有限元法计算

1.2.4 （Robin或混合）对流边界条件

1.3 变分原理与加权余量法

1.3.1 齐次Dirichlet边界条件

1.3.2 非齐次Dirichlet边界条件

1.3.3 Dirichlet/Neumann边界条件

1.3.4 Neumann/Dirichlet边界条件

1.4 Helmholtz方程

1.5 应用二阶单元分析稳态扩散问题

1.5.1 单元结点和整体结点

1.5.2 Galerkin有限元法方程

1.5.3 计算五对角系数矩阵的Thomas算法

1.5.4 单元矩阵

1.5.5 有限元法程序

1.5.6 结点凝聚

1.5.7 任意位置的内部结点

1.6 使用二阶模态展开的稳态扩散问题

第2章 一维问题有限元法的进一步应用

2.1 非稳态扩散

2.1.1 Galerkin原理

2.1.2 ODEs的积分

2.1.3 向前Euler差分法

2.1.4 数值稳定性

2.1.5 有限元程序

2.1.6 Crank-Nicolson积分法

2.2 对流

2.2.1 线性单元

2.2.2 由于空间离散化导致的数值弥散

2.2.3 二阶单元

2.2.4 ODEs积分

2.2.5 非线性对流问题

2.3 对流-扩散

2.3.1 稳态线性对流-扩散

2.3.2 非线性对流-扩散

2.4 梁的弯曲

2.4.1 Euler-Bernoulli梁

2.5 梁弯曲问题有限元法

2.5.1 Hermite单元

2.5.2 Galerkin原理

2.5.3 单元刚度和质量矩阵

2.5.4 采用一个单元进行有限元法计算的悬臂梁

2.5.5 结点荷载作用下的悬臂梁

2.6 梁的屈曲

2.6.1 端部受压

2.6.2 承受端部压力时梁的屈曲

2.6.3 短粗柱的屈曲

第3章 一维问题中的高阶有限元与谱元法

3.1 单元结点集

3.1.1 Lagrange插值

3.1.2 均布结点

3.1.3 单元矩阵

3.1.4 C0连续性和共享单元结点

3.2 单元结点集变换

3.2.1 二阶展开式

3.2.2 逆变换

3.2.3 单元矩阵之间关系

3.2.4 结点集对于有限元解的作用

3.3 谱插值

3.3.1 Lobatto结点集

3.3.2 离散化程序

3.3.3 Legendre多项式

3.3.4 第二类Chebyshev结点集

3.4 Lobatto插值及单元矩阵

3.4.1 Lobatto质量矩阵

3.4.2 Lobatto插值函数积分

3.4.3 Lobatto质量矩阵计算

3.4.4 Lobatto扩散矩阵计算

3.5 稳态扩散问题的谱元法程序

3.5.1 谱精度

3.5.2 Helmholtz方程

3.5.3 结点凝聚

3.6 模态展开

3.6.1 结点展开式

3.6.2 数值实现方法

3.7 Lobatto模态展开

3.7.1 单元扩散矩阵

3.7.2 单元质量矩阵

3.7.3 模态谱元法

3.8 任意结点集

3.9 非稳态扩散

3.9.1 Crank-Nicolson离散方法

3.9.2 Euler向前差分法

第4章 二维问题有限元法

4.1 二维对流-扩散问题

4.1.1 边界条件

4.1.2 Galerkin积分

4.1.3 区域离散化和插值

4.1.4 Galerkin有限元方程式

4.1.5 施加Dirichlet边界条件

4.1.6 分离结点

4.1.7 变分形式

4.2 三结点三角形单元

4.2.1 单元矩阵

4.2.2 单元扩散矩阵计算

4.2.3 单元质量矩阵计算

4.2.4 证明积分式

4.2.5 单元对流矩阵计算

4.3 网格生成

4.3.1 连续细分

4.3.2 Delaunay三角剖分

4.3.3 广义联系矩阵

4.3.4 单元和结点的编号方式

4.4 Dirichlet边界条件下的Laplace方程

4.5 Laplace算子的特征值

4.6 Dirichlet边界条件下的对流-扩散问题

4.7 Neumann边界条件下的Helmholtz方程

4.8 任意边界条件下的Laplace方程

4.9 面单元

4.10 双线性四边形单元

第5章 二维问题中的二阶单元和谱单元

5.1 六结点三角形单元

5.1.1 三角形积分域

5.1.2 等参插值与单元矩阵

5.1.3 单元矩阵与积分法则

5.1.4 直边单元

5.2 网格生成

5.2.1 圆盘

5.2.2 正方形

5.2.3 L-形区域

5.2.4 具有方孔与圆孔的正方形

5.2.5 带圆孔的矩形

5.3 Laplace方程和Poisson方程

5.3.1 Laplace方程

5.3.2 Laplace算子的特征值

5.3.3 Poisson方程

5.4 Dirichlet边界条件下的对流-扩散问题

5.5 高阶三角形单元展开式

5.5.1 结点插值函数的计算

5.5.2 Lebesgue常数

5.5.3 结点凝聚

5.6 Appell多项式基函数

5.6.1 不完全双正交

5.6.2 不完全正交性

5.6.3 广义Appell多项式

5.7 Proriol多项式基

5.7.1 正交性

5.7.2 正交展开

5.8 高阶结点配置

5.8.1 基于一维主网格的结点配置

5.8.2 均匀网格

5.8.3 三角形单元上的Lobatto网格

5.8.4 Fekete结点集

5.8.5 其他形式的结点配置

5.9 三角形单元内的模态展开

5.9.1 模态展开的实现方法

5.9.2 模态展开性质

5.10 面单元

5.10 .1 在单元表面上求函数梯度

5.10 .2 网格生成

5.11 高阶四边形单元

5.11 .1 矩形八结点单元

5.11 .2 十二结点矩形单元

5.11 .3 通过张量积展开生成的网格结点

5.11 .4 模态展开

第6章 有限元法在力学中的应用

6.1 弹性理论基础

6.1.1 变形和本构方程

6.1.2 线弹性体

6.2 平面应力和平面应变分析

6.2.1 平面应力分析

6.2.2 平面应变分析

6.2.3 有限元描述

6.3 平面应力问题有限元分析

6.3.1 边界力引起的变形

6.3.2 体力作用引起的变形

6.4 板的弯曲

6.4.1 平衡方程

6.4.2 边界条件

6.4.3 本构方程和控制方程

6.4.4 圆形板

6.5 Hermite三角形单元

6.6 Morley三角形单元

6.7 相容的三角形单元

6.7.1 六结点21个自由度的三角形单元

6.7.2 Hsieh-Clough-Tocher（HCT）单元

6.8 板弯曲问题的有限元法

6.8.1 基于双调和方程的有限元描述

6.8.2 Poisson方程的有限元法描述

6.9 屈曲与皱曲

第7章 粘滞流

7.1 控制方程

7.2 有限元法

7.2.1 Galerkin积分

7.2.2 离散方程

7.3 Stokes流体

7.3.1 控制方程

7.3.2 Galerkin有限元法方程

7.3.3 三角化

7.4 矩形腔中的Stokes流

7.5 Navier-Stokes流体

7.5.1 稳态

7.5.2 时程积分

7.5.3 以压力为基本变量的Poisson方程形式

第8章 三维空间中的有限元与谱元法

8.1 三维空间中的对流-扩散问题

8.1.1 边界条件

8.1.2 区域离散

8.1.3 Galerkin变分法

8.1.4 Galerkin有限元法方程

8.1.5 单元矩阵

8.1.6 施加Dirichlet边界条件

8.2 四面体单元

8.2.1 参数坐标表示

8.2.2 四面体域内的体积分

8.2.3 单元划分为八个四面体

8.2.4 单元划分为12个四面体

8.2.5 等参插值

8.2.6 单元扩散矩阵

8.2.7 单元质量矩阵

8.2.8 积分公式（8.2.36 ）的证明

8.2.9 单元对流矩阵

8.3 区域离散为4-NQ单元集

8.3.1 Delaunay单元细分

8.4 关于4-NQ单元的有限元程序

8.4.1 Laplace方程

8.4.2 Laplace算子的特征值

8.5 四面体上的正交多项式

8.5.1 Karniadakis和Sherwin多项式

8.5.2 正交展开

8.6 高阶单元和四面体谱单元

8.6.1 均匀结点分布

8.6.2 任意结点分布

8.6.3 谱结点分布

8.6.4 单元结点插值函数的梯度

8.6.5 数值积分

8.7 10结点的二阶四面体单元

8.7.1 结点插值函数

8.7.2 单元扩散和质量矩阵

8.7.3 空间离散

8.7.4 Laplace方程

8.7.5 Laplace算子的特征值

8.8 四面体单元上的模态展开

8.9 六面体单元

8.9.1 参数化表示

8.9.2 六面体体积域内的积分

8.9.3 高阶单元和六面体谱单元

8.9.4 模态展开

附录

A.数学基础

A.1 指标记法

A.2 Kronecker符号

A.3 转换张量

A.4 二维和三维向量

A.5 Hamilton算子

A.6 梯度和散度

A.7 向量运算公式

A.8 Gauss散度定理

A.9 平面坐标系中的Gauss散度公式

A.10 Stokes公式

B.正交多项式

B.1 定义和基本性质

B.1.1 低阶多项式的正交性

B.1.2 正交多项式的根

B.1.3 正交性的离散表示形式

B.1.4 Gram多项式

B.1.5 递推关系

B.1.6 三对角矩阵行列式计算

B.1.7 Clenshaw算法

B.1.8 Gram-Schmidt正交化

B.1.9 正交多项式

B.1.10 Christoffel-Darboux公式

B.2 Gauss积分

B.2.1 积分权重值

B.2.2 标准Gauss求积公式

B.3 Lobatto积分

B.4 Chebyshev积分公式

B.5 Legendre多项式

B.6 Lobatto多项式

B.7 Chebyshev多项式

B.8 Jacobi多项式

C.线性方程组求解

C.1 Gauss消去法

C.1.1 主元消去法

C.1.2 具体运算步骤

C.1.3 对称矩阵

C.1.4 计算成本

C.1.5 Gauss消除法的计算机程序

C.1.6 多个不同右端项

C.1.7 计算矩阵的逆

C.1.8 Gauss-Jordan消元法

C.2 基于矩阵分裂法的迭代法

C.2.1 Jacobi法

C.2.2 Gauss-Seidel迭代法

C.2.3 逐次超松弛（SOR）法

C.2.4 基于算子和网格的分裂法

C.3 基于方向搜索的迭代法

C.3.1 对称正定矩阵

C.3.2 一般方法

C.4 有限元方程求解

D.函数插值

D.1 插值多项式

D.1.1 Vandermonde矩阵

D.1.2 广义Vandermonde矩阵

D.1.3 Newton插值

D.2 Lagrange插值

D.2.1 Cauchy关系式

D.2.2 利用生成多项式表示Lagrange多项式

D.2.3 一阶导数和结点微分矩阵

D.2.4 Vandermonde矩阵表示法

D.2.5 与多项式根相关的Lagrange多项式

D.2.6 采用Hermite插值的Lagrange多项式

D.3 多项式插值的误差

D.3.1 收敛性和Lebesgue常数

D.4 Chebyshev插值

D.5 Lobatto插值

D.6 二维或更高维插值

E.生成单元网格

F.术语表

G.MATLAB基础

G.1 MAT LAB编程

G.1.1 语法和句法

G.1.2 精度

G.1.3 MATLAB命令

G.1.4 简单例子

G.2 MATLAB函数

G.3 数值方法

G.4 MATLAB绘图

参考文献