第1章 数值线性代数理论基础

1.1 一些概念和记号

1.2 几种常用的矩阵分解

1.2.1 矩阵的特征分解

1.2.2 矩阵的Schur分解

1.2.3 矩阵的奇异值分解

1.2.4 矩阵的极分解和满秩分解

1.3 向量和矩阵的范数

1.3.1 向量内积与向量范数

1.3.2 矩阵范数与内积

1.4 矩阵的广义逆

1.5 几种特殊的矩阵类型

1.6 模型问题：Poisson问题

习题1

第2章 正交变换和投影方法

2.1 两种常用的正交变换

2.1.1 Householder变换

2.1.2 Givens变换

2.2 QR分解

2.2.1 Householder变换QR分解

2.2.2 Givens变换QR分解

2.3 线性无关向量组的正交化

2.3.1 Gram-Schmidt正交化

2.3.2 Householder正交化

2.4 Krylov子空间及其正交化

2.4.1 Krylov子空间

2.4.2 Arnoldi正交分解

2.4.3 Lanczos正交分解

2.5 投影方法

2.5.1 投影算子及其性质

2.5.2 投影方法的基本框架

2.5.3 一维投影方法

习题2

第3章 线性方程组的矩阵分裂迭代法

3.1 迭代法的一般理论

3.1.1 迭代法的定义与分类

3.1.2 收敛性与收敛速度

3.1.3 相容性和敏感性分析

3.1.4 几种常见的矩阵分裂

3.2 几种经典迭代法

3.2.1 Richardson迭代法

3.2.2 Jacobi迭代法

3.2.3 Gauss-Seidel（GS）迭代法

3.3 松弛型迭代法

3.3.1 SOR迭代法

3.3.2 SSOR迭代法

3.3.3 AOR迭代法

3.4 HSS迭代法

3.4.1 HSS和IHSS方法

3.4.2 PHSS迭代法

3.5 迭代法的加速方法

3.5.1 外推方法

3.5.2 整体校正方法

3.5.3 基于矩阵特征值的外推方法

3.5.4 Chebyshev加速方法

3.6 块三对角方程组的迭代解法

3.6.1 PE（α）方法

3.6.2 二次PE（α）方法

习题3

第4章 线性方程组的Krylov子空间迭代法

4.1 共轭梯度法

4.1.1 基本CG方法

4.1.2 收敛性分析

4.1.3 预处理CG方法

4.1.4 CGNR方法和CGNE方法

4.2 广义极小残量法

4.2.1 GMRES方法

4.2.2 预处理GMRES方法

4.2.3 收敛性分析

4.3 极小残量法

4.3.1 MINRES方法

4.3.2 PMINRES方法

4.3.3 收敛性分析

4.4 SYMMLQ方法

4.4.1 SYMMLQ方法

4.4.2 收敛性分析

4.5 拟极小残量法

4.5.1 非对称Lanczos方法

4.5.2 QMRES方法

4.6 LSQR方法

4.6.1 Lanczos双对角化方法

4.6.2 LSQR算法

4.7 广义共轭残量法

4.7.1 GCR方法

4.7.2 GCR（m）方法

4.8 投影类方法

4.8.1 BCG方法

4.8.2 CGS方法

4.8.3 BCGSTAB方法

习题4

第5章 线性最小二乘问题的数值解法

5.1 线性最小二乘问题的数学性质

5.1.1 最小二乘解的特征及一般表示

5.1.2 线性LS的等价性问题

5.1.3 线性最小二乘问题的正则化

5.2 求解满秩最小二乘问题的数值方法

5.2.1 法方程方法

5.2.2 QR分解方法

5.3 求解秩亏最小二乘问题的数值解法

5.3.1 列主元QR分解法

5.3.2 奇异值分解法

5.4 求解最小二乘问题的迭代方法

5.4.1 基于法方程的矩阵分裂迭代法

5.4.2 基于法方程的共轭梯度法

5.4.3 基于KKT方程的SOR类迭代法

5.4.4 基于KKT方程的HSS迭代法

习题5

第6章 解线性方程组的直接法

6.1 Gauss消去法

6.1.1 顺序Gauss消去法

6.1.2 列主元Gauss消去法

6.2 LU分解法

6.2.1 顺序LU分解法

6.2.2 列主元LU分解法

6.2.3 不完全LU分解

6.3 对称正定方程组的直接法

6.3.1 Cholesky分解法

6.3.2 不完全Cholesky分解

6.4 带状线性方程组的直接法

6.4.1 三对角方程组

6.4.2 块三对角方程组

6.5 直接法的舍入误差分析

6.5.1 矩阵的条件数

6.5.2 矩阵条件数的估算

6.5.3 舍入误差对解的影响

习题6

第7章 矩阵特征值问题的数值方法

7.1 矩阵的特征值估计和隔离

7.2 幂法和反幂法

7.2.1 幂法

7.2.2 幂法的加速技术

7.2.3 反幂法

7.3 Jacobi方法

7.3.1 实对称矩阵的旋转正交相似变换

7.3.2 Jacobi方法及其收敛性

7.4 QR方法

7.4.1 化一般矩阵为上Hessenberg矩阵

7.4.2 上Hessenberg矩阵的QR分解

7.4.3 基本QR方法

7.4.4 带原点位移的QR方法

7.4.5 双重步位移隐式QR方法

7.4.6 特征向量的计算方法

7.5 Givens-Householder方法

7.5.1 求对称三对角矩阵特征值的二分法

7.5.2 二分法的程序实现

7.5.3 特征向量的计算

7.6 Krylov子空间方法

7.6.1 Rayleigh-Ritz投影方法

7.6.2 Lanczos方法

7.6.3 Arnoldi方法

7.6.4 Jacobi-Davidson方法

习题7

参考文献