第1章 引论

概要

第一部分 线性方程

第2章 Laplace方程

2.1. 平均值不等式

2.2. 最大值和最小值原理

2.3. Harnack不等式

2.4. Green表示

2.5. Poisson积分

2.6. 收敛性定理

2.7. 导数的内估计

2.8. Dirichlet问题；下调和函数方法

2.9. 容量

习题

第3章 古典最大值原理

3.1. 弱最大值原理

3.2. 强最大值原理

3.3. 先验的界

3.4. Poisson方程的梯度估计

3.5. Harnack不等式

3.6. 散度形式的算子

评注

习题

第4章 Poisson方程和Newton位势

4.1. H？lder连续性

4.2. Poisson方程的Dirichlet问题

4.3. 二阶导数的H？lder估计

4.4. 在边界上的估计

4.5. 一阶导数的H？lder估计

评注

习题

第5章 Banach空间和Hilbert空间

5.1. 压缩映象原理

5.2. 连续性方法

5.3. Fredholm二择一性质

5.4. 对偶空间和共轭

5.5. Hilbert空间

5.6. 投影定理

5.7. Riesz表示定理

5.8. Lax-Milgram定理

5.9. Hilbert空间中的Fredholm二择一性质

5.10. 弱紧性

评注

习题

第6章 古典解；Schauder方法

6.1. Schauder内估计

6.2. 边界估计和全局估计

6.3. Dirichlet问题

6.4. 内部正则性和边界正则性

6.5. 另一种方法

6.6. 非一致椭圆型方程

6.7. 其他边界条件：斜导数问题

6.8. 附录1：内插不等式

6.9. 附录2：延拓引理

评注

习题

第7章 Sobolev空间

7.1. Lp空间

7.2. 正则化和用光滑函数逼近

7.3. 弱导数

7.4. 链式法则

7.5. W k，p空间

7.6. 稠密性定理

7.7. 嵌入定理

7.8. 位势估计和嵌入定理

7.9. Morrey和John-Nirenberg估计

7.10. 紧性结果

7.11. 差商

7.12. 延拓和内插

评注

习题

第8章 广义解和正则性

8.1. 弱最大值原理

8.2. Dirichlet问题的可解性

8.3. 弱解的可微性

8.4. 全局正则性

8.5. 弱解的全局有界性

8.6. 弱解的局部性质

8.7. 强最大值原理

8.8. Harnack不等式

8.9. H？lder连续性

8.10. 在边界处的局部估计

8.11. 一阶导数的H？lder估计

8.12. 特征值问题

评注

习题

第9章 强解

9.1. 强解的最大值原理

9.2. Lp估计：初步分析

9.3. Marcinkiewicz内插定理

9.4. Calderon-Zygmund不等式

9.5. Lp估计

9.6. Dirichlet问题

9.7. 一个局部最大值原理

9.8. H？lder和Harnack估计

9.9. 在边界上的局部估计

评注

习题

第二部分 拟线性方程

第10章 最大值原理和比较原理

10.1. 比较原理

10.2. 最大值原理

10.3. 一个反例

10.4. 散度形式算子的比较原理

10.5. 散度形式算子的最大值原理

评注

习题

第11章 拓扑不动点定理及其应用

11.1. Schauder不动点定理

11.2. Leray-Schauder定理：一个特殊情形

11.3. 一个应用

11.4. Lerav-Schauder不动点定理

11.5. 变分问题

评注

第12章 两个变量的方程

12.1. 拟保角映射

12.2. 线性方程梯度的H？lder估计

12.3. 一致椭圆型方程的Dirichlet问题

12.4. 非一致椭圆型方程

评注

习题

第13章 梯度的H？lder估计

13.1. 散度形式的方程

13.2. 两个变量的方程

13.3. 一般形式的方程；内估计

13.4. 般形式的方程：边界估计

13.5. 对Dirichlet问题的应用

评注

习题

第14章 边界梯度估计

14.1. 一般区域

14.2. 凸区域

14.3. 边界曲率条件

14.4. 非存在性结果

14.5. 连续性估计

14.6. 附录：边界曲率和距离函数

评注

习题

第15章 梯度的内部和全局内估计

15.1. 梯度的最大值原理

15.2. 一般情形

15.3. 梯度的内估计

15.4. 散度形式的方程

15.5. 存在定理选讲

15.6. 连续边值的存在定理

评注

习题

第16章 平均曲率型方程

16.1. R n＋1中的超曲面

16.2. 梯度的内估计

16.3. 在Dirichlet问题中的应用

16.4. 两个自变量的方程

16.5. 拟保角映射

16.6. 具有拟保角Gauss映射的图像

16.7. 对平均曲率型方程的应用

16.8. 附录：椭圆型参数泛函

评注

习题

第17章 完全非线性方程

17.1. 最大值原理和比较原理

17.2. 连续性方法

17.3. 两个变量的方程

17.4. 对于二阶导数的H？lder估计

17.5. 一致椭圆型方程的Dirichlet问题

17.6. Monge-Ampère方程的二阶导数估计

17.7. Monge-Ampère型方程的Dirichlet问题

17.8. 二阶导数全局H？lder估计

17.9. 非线性边值问题

评注

习题

参考书目

后记

内容索引

记号索引