1数学模型与定解条件

1.1引言

1.2数学模型

1.2.1弦振动与膜振动

1.2.2固体中的热传导及扩散问题

1.2.3静电场的位势

1.2.4电报方程（传输线方程）

1.3定解条件与定解问题

1.3.1泛定方程

1.3.2定解条件

1.3.3定解条件的形式和定解问题

1.3.4定解问题的适定性介绍

1.4偏微分方程的基本概念及线性迭加原理

1.4.1偏微分方程的基本概念

1.4.2线性偏微分方程的迭加原理

习题

2分离变量法

2.1引言

2.2直角坐标系下的分离变量法

2.2.1齐次方程定解问题的解法——分离变量法

2.2.2非齐次方程定解问题的解法

2.2.3非齐次定解条件的处理

2.2.4分离变量法要点

2.2.5混合问题解的适定性

2.2.6在直角坐标系下分离变量法的进一步应用

2.3极坐标系下的分离变量法

2.3.1圆域内拉普拉斯方程的狄里克莱问题的分离变量法

2.3.2圆域内泊松方程狄里克莱问题的固有函数法

2.4柱坐标系下的分离变量法

2.4.1贝塞尔函数

2.4.2圆柱内热传导方程混合问题的分离变量法

2.4.3圆柱内拉普拉斯方程狄里克莱问题的分离变量法

2.4.4圆柱内波动方程混合问题的分离变量法

2.5球坐标系下的分离变量法

2.5.1勒让德多项式

2.5.2球域内拉普拉斯方程狄里克莱问题的分离变量法

2.5.3球域内拉普拉斯方程诺依曼问题的分离变量法

2.6斯特姆-刘维尔问题

2.6.1基本概念

2.6.2基本性质

习题

3积分变换法

3.1引言

3.2δ-函数

3.2.1δ-函数的概念

3.2.2δ-函数

3.2.3高维的δ-函数的傅里叶展开式

3.2.4δ-函数的傅里叶展开式样

3.3傅里叶变换法

3.3.1傅里叶变换及其性质

3.3.2求解定解问题的傅里叶变换法

3.4拉普拉斯变换法

3.4.1拉普拉斯变换及其性质

3.4.2求解定解问题的拉普拉斯变换法

3.5基本解及其性质

3.5.1波动方程的基本解及其性质

3.5.2热传导方程的基本解及其性质

3.5.3调和方程的基本解及其性质

习题

4行波法

4.1引言

4.2一维波动方程柯西问题的行波法

4.2.1达朗贝尔公式

4.2.2解的物理意义

4.2.3解的依赖区域决定区域和影响区域

4.2.4半无界域上波动方程柯西问题的延拓法

4.3三维波动方程柯西问题的解法

4.3.1球对称三维波动方程的解

4.3.2三维波动方程柯西问题的球平均法

4.3.3三维波动方程柯西问题的类比法

4.3.4解的物理意义

4.4二维波动方程柯西问题的解法

4.4.1降维法

4.4.2解的物理意义

4.5非齐次波动方程柯西问题的冲量定理法

4.5.1一维非齐次波动方程柯西问题的解的表达式

4.5.2二维非齐次波动方程柯西问题的解的表达式

4.5.3三维非齐次波动方程柯西问题的解的表达式

习题

5格林函数法

5.1引言

5.2非齐次波动方程定解问题的格林函数法

5.3非齐次热传导方程定解问题的格林函数法

5.4拉普拉斯方程边值问题的格林函数法

5.4.1拉普拉斯方程内问题和外问题的提法

5.4.2格林公式

5.4.3调和函数的基本性质

5.4.4拉普拉斯方程的格林函数的表达式及物理意义

5.4.5拉普拉斯方程边值问题的格林函数解法的应用实例

5.5椭圆型方程边值问题的一些特殊解法

5.5.1观察法

5.5.2系数代入法

5.5.3保角变换法

习题

6二阶线性偏微分方程的分类与小结

6.1引言

6.2二阶线性偏微分方程的分类与化简

6.2.1含两个自变数的二阶线性方程的分类和化简

6.2.2常系数二阶线性偏微分方程化归标准形

6.2.3含多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类

6.2.4关于二阶线性偏微分方程分类的意义

6.3数学物理方程定解问题及常用解法综述

6.3.1定解问题的适定性

6.3.2数学物理方程定解问题常用解法综述

6.4三类典型方程的比较与归纳

6.4.1三类方程定解问题提法的比较

6.4.2三类方程的小结和解的性质的比较

6.5广义解的概念

6.5.1广义解的提出

6.5.2调和方程狄里克莱问题的广义解

习题

7偏微分方程数值解

7.1引言

7.2有限差分方法的基本概念

7.2.1有限差分近似

7.2.2差分格式的相容性、收敛性和稳定性

7.2.3判定差分格式稳定性的常用方法

7.3抛物型方程的差分解法

7.3.1常系数抛物方程的主要差分格式

7.3.2主要差分格式的稳定性

7.3.3初边值问题条件的差分处理

7.4双曲型方程的差分解法

7.4.1一阶双曲型方程差分格式

7.4.2一阶双曲型方程组差分格式

7.4.3二阶双曲型方程差分格式

7.5椭圆型方程的差分解法

7.5.1拉普拉斯方程的有限差分法

7.5.2泊松方程差分格式

7.5.3差分格式的性质

7.5.4边界条件的处理

7.6有限元法初步

7.6.1变分原理

7.6.2里茨法

7.6.3伽辽金法

7.6.4有限元的特点

习题

附录Ⅰ正交函数系及一般展开概念

Ⅰ.1正交函数系概念

Ⅰ.2简单正交系的例

Ⅰ.3函数的展开

Ⅰ.4正交系的完备性

Ⅰ.5双变量正交系·二重傅里叶级数

附录Ⅱ第一类和第二类贝塞尔函数表

附录Ⅲ贝塞尔函数的零点表

附录Ⅳ勒让德多项式

附录Ⅴ傅里叶变换简表

附录Ⅵ拉普拉斯变换简表

参考文献