第一部分 复变函数

第1章 复数和复变函数

1.1基本概念

1.2复数序列

1.3复变函数

1.4复变函数的极限和连续

1.5无穷远点

第2章 解析函数

2.1可导与可微

2.2解析函数

2.3初等函数

2.4多值函数

2.5解析函数的物理解释——复势

第3章 复变积分

3.1复变积分

3.2单连通区域的柯西定理

3.3复连通区域的柯西定理

3.4两个有用的引理

3.5柯西积分公式

3.6解析函数的高阶导数

3.7柯西型积分和含参量积分的解析性

第4章 无穷级数

4.1复数级数

4.2函数级数

4.3幂级数

4.4含参量的反常积分的解析性

第5章 解析函数的局域性展开

5.1解析函数的泰勒展开

5.2泰勒级数求法举例

5.3解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性

5.4解析函数的洛朗展开

5.5洛朗级数求法举例

5.6单值函数的孤立奇点

5.7解析延拓

第6章 二阶线性常微分方程的幂级数解法

6.1二阶线性常微分方程的常点和奇点

6.2方程常点邻域内的解

6.3方程正则奇点邻域内的解

6.4贝塞尔方程的解

第7章 留数定理及其应用

7.1留数定理

7.2有理三角函数的积分

7.3无穷积分

7.4含三角函数的无穷积分

7.5实轴上有奇点的情形

7.6多值函数的积分

第8章T函数

8.1 T函数的定义和基本性质

8.2 ？函数

8.3 B函数

第9章 拉普拉斯变换

9.1拉普拉斯变换

9.2拉普拉斯变换的基本性质

9.3拉普拉斯变换的反演

9.4普遍反演公式

第10章 δ函数

第二部分 数学物理方程

第11章 数学物理方程和定解条件

11.1弦的横振动方程

11.2杆的纵振动方程

11.3热传导方程

11.4稳定问题

11.5边界条件与初始条件

11.6内部界面上的连接条件

11.7定解问题的适定性

第12章 分离变量法

12.1两端固定弦的自由振动

12.2分离变量法的物理诠释

12.3矩形区域内的稳定问题

12.4多于两个自变量的定解问题

12.5两端固定弦的受迫振动

12.6非齐次边界条件的齐次化

第13章 正交曲面坐标系

13.1正交曲面坐标系

13.2圆形区域

13.3亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量

13.4亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量

第14章 球函数

14.1勒让德方程的解

14.2勒让德多项式

14.3勒让德多项式的微分表示（罗巨格公式）

14.4勒让德多项式的正交完备性

14.5勒让德多项式的生成函数

14.6勒让德多项式的递推关系

14.7勒让德多项式应用举例

14.8连带勒让德函数

14.9球面调和函数

第15章 柱函数

15.1贝塞尔函数和诺依曼函数

15.2贝塞尔函数的递推关系

15.3贝塞尔函数的渐进展开

15.4整数阶贝塞尔函数的生成函数和积分表示

15.5贝塞尔方程的本征值问题

15.6半奇数阶贝塞尔函数

15.7球贝塞尔函数

第16章 积分变换的应用

第17章 格林函数法

17.1格林函数的概念

17.2稳定问题格林函数的一般性质

17.3三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数

17.4圆内泊松方程第一边值问题的格林函数

参考文献