第1章 导论和背景知识

1.1 一些历史

1.1.1 Hamilton

1.1.2 Jacobi

1.1.3 Lie

1.1.4 Cartan

1.2 线性辛几何

1.2.1 辛向量空间

1.2.2 基本例子

1.2.3 辛正交补

1.2.4 几类特殊的子空间

1.2.5 正则形式

1.3 辛群

1.3.1 辛群

1.3.2 二维辛群：Sp(2)=SL(2,R)

1.3.3 Gauss定理

1.4 线性Hamilton理论

1.4.1 Maxwell电动力学

1.4.2 Fresnel光学

1.4.3 几何光学

1.4.4 线性光学

1.4.5 Gaussian光学

1.4.6 Gaussian光学中的射线追踪

1.4.7 Gaussian光学转换成Sp(2)

1.4.8 Snell定律

1.4.9 折射的矩阵形式

1.4.10 常折射率介质中的射线

1.4.11 薄透镜

1.4.12 薄透镜的焦平面

1.4.13 共轭平面和薄透镜方程

1.4.14 望远镜

1.4.15 主平面

1.5 Gaussian光学中的Hamilton方法

1.5.1 Gaussian光学中的Hamilton方法

1.5.2 Hamilton想法

1.5.3 光程

1.5.4 光程的一个重要公式

1.5.5 光程公式的一个特殊情形

1.5.6 光程公式的证明

第2章 辛群

2.1 基础知识回顾

2.1.1 辛向量空间

2.1.2 最简单的例子

2.1.3 子空间的特殊情况

2.1.4 辛子空间

2.1.5 正则形式

2.1.6 Lagrangian子空间的存在性

2.1.7 相容Hermitian结构

2.2 极分解的使用

2.2.1 线性代数中一些事实的回顾

2.2.2 非负自伴随矩阵的平方根

2.2.3 极分解

2.2.4 辛几何中极分解的使用

2.2.5 群Sp（V）是连通的

2.2.6 Sp（V）的维数

2.2.7 Lagrangian子空间构成的空间的维数

2.3 辛群的坐标描述

2.4 辛矩阵的特征值

2.5 Sp（V）的Lie代数

2.6 Sp（V）中元素的极分解

2.6.1 回到Sp（V）中元素的极分解的一个断言上

2.7 sp（V）的Cartan分解

2.8 Sp（V）的紧子群

2.9 Sp（V）的Gaussian生成元

2.9.1 线性光学

第3章 线性辛范畴

3.1 范畴理论

3.1.1 范畴的定义

3.1.2 函子

3.1.3 反变函子

3.1.4 态射

3.1.5 对合函子

3.1.6 对换函子

3.2 集合和关系

3.2.1 有限关系的范畴

3.2.2 △X是恒等态射idX

3.2.3 结合法则

3.3 范畴化“点”

3.3.1 FinRel中的“点”

3.3.2 态射作用在“点”上

3.3.3 回到FinRel范畴上

3.3.4 FinRel上的转置

3.4 线性辛范畴

3.4.1 Γ2*Γ1空间

3.4.2 纤维乘积或正合方格

3.4.3 转置

3.4.4 投射a：Γ2*Γ1→Γ2°Γ1

3.4.5 线性典范关系的核和像

3.4.6 明Γ2°Γ1是Lagrangian

3.4.7 结合法则

3.5 LinSym范畴和辛群

第4章 辛向量空间的Lagrangian子空间和进一步的Hamilton方法

4.1 与有限个Lagrangian子空间横截的Lagrangian子空间

4.1.1 Lagrangian-Grassmanian空间

4.1.2 L（V,M）的参数化

4.1.3 基描述

4.2 L（V）上的Sp（V）作用

4.2.1 Sp（V）可迁地作用在L（V）的横截对上

4.2.2 Sp（V）不可迁地作用在L（V）的横截三元组上

4.2.3 sgn（βL）的显式计算

4.3 生成函数——Hamilton想法的一个简单例子

4.3.1 和M＊横截的子空间

第5章 微分运算的回顾、广义Weil恒等式、Moser技巧和Darboux型定理

5.1 超代数

5.2 微分形式

5.2.1 微分形式

5.2.2 次

5.2.3 局部描述

5.3 d算子

5.3.1 d算子

5.3.2 规则的记忆

5.4 导子

5.4.1 导子

5.4.2 交换子

5.4.3 导子和乘法

5.5 拉回

5.5.1 拉回

5.5.2 局部坐标下的拉回

5.5.3 链法则

5.6 Lie导数

5.6.1 无穷小生成元

5.6.2 向量场作为微分算子

5.6.3 Lie导数

5.7 Weil公式

5.7.1 内乘积

5.7.2 一般的内乘积

5.7.3 Weil公式

5.7.4 微分形式作为向量场上的多重线性函数

5.7.5 外微分的一个公式

5.7.6 Jacobi恒等式

5.8 广义Weil公式

5.8.1 广义Weil公式

5.8.2 函子性的使用

5.9 链同伦

5.9.1 链同伦

5.9.2 Poincaeé引理

5.10 Moser技巧

5.10.1 问题

5.10.2 体积形式

5.10.3 经典Morse引理

5.10.4 Darboux型定理

5.10.5 紧流形

5.10.6 紧子流形

5.10.7 Darboux最初的定理

第6章 辛流形和Hamiltonian力学

6.1 辛流形的定义

6.1.1 辛同胚

6.1.2 辛向量场

6.1.3 Hamiltonian向量场

6.1.4 Hamiltonian向量场是辛的

6.1.5 两个辛向量场的Lie括号是Hamiltonian

6.2 Poisson括号

6.3 Poisson代数

6.3.1 Poisson代数

6.3.2 Poisson流形

6.4 基本的局部例子

6.4.1 Hamilton方程

6.4.2 线性Hamiltonian

6.4.3 二次Hamiltonian

6.5 余切丛

6.5.1 典范—形式

6.5.2 典范二形式

6.5.3 使用局部坐标

6.5.4 Galileo定律

6.5.5 Newton定律：F=ma

6.5.6 Lagrangian子流形

6.5.7 余切丛的Lagrangian子流形

6.5.8 余切丛的横向Lagrangian子流形

6.5.9 Q的微分同胚推出T*Q的辛同胚

6.5.10 恰当辛流形

6.5.11 增加一个“磁场”

第7章 余切丛上的Hamiltonian力学

7.1 余切丛的回顾

7.1.1 余切丛上典范一形式的回顾

7.1.2 余切丛上典范二形式的回顾

7.1.3 Hamiltonian向量场

7.2 余切丛上的Hamiltonian力学：续

7.2.1 能量守恒

7.2.2 Noether定理

7.2.3 动能和势能

7.2.4 动能

7.2.5 Legendre变换

7.2.6 局部坐标下的Legendre变换

7.2.7 动能

7.3 Euler-Lagrange方程

7.3.1 Hamilton方程的第一部分

7.3.2 Hamilton方程的第二部分

7.3.3 Euler-Lagrange方程

7.3.4 力学相似性原理

7.3.5 Kepler第三定律

7.4 余切丛上的变分计算

7.4.1 可变端点

7.5 一些Riemannian几何

7.5.1 指数映射

7.5.2 Gauss引理

7.5.3 测地线局部最小化弧长

7.5.4 测地线局部最小化能量

7.6 另一个变分问题——Hamilton原理

7.6.1 Hamilton原理

7.7 附录：作为Lagrangian子流形的Legendre变换

第8章 约化

8.1 Frobenius定理

8.1.1 微分系统（也称为分布）

8.1.2 微分系统的积分流形

8.1.3 一形式的例子

8.1.4 不可积一形式

8.1.5 淹没

8.1.6 叶状结构

8.1.7 纤维化

8.1.8 微分系统的向量场

8.1.9 Frobenius定理

8.2 闭形式的约化

8.2.1 Frobenius定理的主要应用

8.3 淹没的水平和基本形式

8.3.1 回到闭形式的约化

8.3.2 余迷向浸入的约化

8.3.3 约化和Poisson括号

第9章 辛群作用和力矩映射

9.1 Lie群背景知识和记号

9.1.1 Lie群背景知识

9.1.2 左平移和右平移

9.1.3 f-关联向量场

9.1.4 左不变向量场生成右平移

9.1.5 Lie代数

9.1.6 共轭和伴随表示

9.1.7 群上三种自然作用

9.1.8 G-流形和等变映射

9.1.9 Lie代数的作用

9.1.10 群作用的生成向量场

9.1.11 群作用决定其Lie代数的作用

9.1.12 证明“万有性”

9.1.13 回到伴随表示和余伴随表示

9.2 辛作用

9.2.1 辛作用

9.2.2 弱Hamiltonian作用

9.2.3 弱力矩映射

9.3 Hamiltonian作用及其力矩映射

9.3.1 Hamiltonian作用

9.3.2 子群的诱导作用

9.3.3 更详细的等变条件

9.3.4 到Poisson括号的同态

9.3.5 修改弱力矩映射使之成为等变的：G是紧的情形

9.3.6 修改弱力矩映射使之成为等变的：M是紧的和连通的情形

9.3.7 恰当辛流形的力矩映射

9.3.8 线性动量

9.3.9 全线性动量

9.3.10 全线性动量守恒

9.3.11 GL（V）作用在V上

9.3.12 角动量

9.3.13 辛表示

第10章 力矩映射续和约化

10.1 力矩映射的导数

10.1.1 力矩映射的微分是赋值映射的转置

10.1.2 赋值映射的像是力矩映射核的正交补

10.1.3 可迁Hamiltonian空间覆盖余伴随轨道

10.2 Kostant-Souriau形式

10.2.1 Kostant-Souriau形式：1

10.2.2 Kostant-Souriau形式：2（G-不变性）

10.2.3 Kostant-Souriau形式：3（σ是闭的和l是其力矩映射）

10.2.4 Kostant-Souriau定理

10.3 力矩映射的导数：续

10.3.1 力矩映射的导数的像

10.3.2 力矩映射的导数的像的零化子空间在m∈M是稳定化子代数

10.4 力矩映射下余伴随轨道的逆像和约化

10.4.1 完全相交

10.4.2 完全相交比横截相交更广泛

10.4.3 在力矩映射下余伴随轨道的逆像是余迷向的

10.4.4 Q的维数公式

10.4.5 当Q的零叶状结构是纤维化时基流形的维数

10.4.6 约化Hamiltonian

10.4.7 Marsden-Weinstein约化空间

10.4.8 重新诠释Marsden-Weinstein约化空间

10.4.9 例子

10.4.10 有效势能

第11章 集体运动和半直积

11.1 集体运动的抽象定义

11.1.1 例子：刚体

11.1.2 L和Q是某个力矩映射的分支

11.2 解集体Hamiltonian的Hamilton方程

11.2.1 回顾：Legendre变换

11.2.2 M上向量场的两种构造方法

11.2.3 四个简单步骤解集体Hamiotonian方程

11.3 半直积

11.3.1 群和向量空间的半直积

11.3.2 乘法的矩阵记忆法

11.3.3 G=H？V的Lie代数g

11.3.4 伴随表示

11.3.5 余伴随表示

11.3.6 余伴随轨道的Wigner-Mackey分类

11.3.7 几个例子

11.4 集体和不变Hamiltonian

11.4.1 集体和不变Hamiltonian是Poisson括号交换的

11.4.2 H和f是互相中心化的吗

11.4.3 不变函数的中心化

11.4.4 “集体的”三种形态

第12章 Marle常秩嵌入定理、力矩映射的正则形式和辛诱导

12.1 紧群作用

12.1.1 群的平均化

12.1.2 不变Riemann度量

12.1.3 Mostow定理

12.1.4 轨道型

12.1.5 忠实性或有效性

12.1.6 轨道型的数目是局部有限的

12.1.7 紧群辛表示的不动向量空间是辛的

12.2 Marle常秩嵌入定理

12.2.1 辛法丛

12.2.2 Marle常秩嵌入定理

12.3 正则形式和Duistermaat-Heckman定理

12.3.1 向量值形式

12.3.2 使用余迷向嵌入定理

12.3.3 力矩映射零水平集附近的力矩映射的正则形式

12.3.4 邻近的约化空间

12.3.5 G是环面的情形

12.4 T*G的重生性质和辛诱导

12.4.1 T*G上G×G作用

12.4.2 右作用的力矩映射

12.4.3 左作用的力矩映射

12.4.4 总结

12.4.5 T*G的重生性质

12.5 辛诱导

12.5.1 作为向量丛的模型空间及其力矩映射

12.5.2 迷向轨道附近力矩映射的正则形式

第13章 环面作用的凸性定理

13.1 局部凸性

13.1.1 回顾环面情形下力矩映射的正则形式

13.2 一些Bott-Morse理论

13.2.1 临界点集和Hessian

13.2.2 Morse函数和Morse-Bott函数

13.2.3 梯度流

13.2.4 稳定和不稳定流形

13.2.5 指标

13.2.6 当没有n？=1时最小值的唯一性

13.2.7 水平集的连通性

13.3 凸性定理的证明

13.4 力矩多面体的精细结构

第14章 Hamiltonian配边、局部化和线性化

14.1 Liouville测度和Duistermaat-Heckman测度

14.1.1 Liouville测度

14.1.2 Duistermaat-Heckman测度

14.1.3 例子：Archimedes定理

14.1.4 力矩映射的存在性

14.2 可能是退化的二形式的Poisson代数

14.2.1 P（M,ω）空间

14.2.2 P（M,ω）上的乘法和括号

14.2.3 该构造的极端情形

14.3 Duistermaat-Heckman积分

14.4 配边的使用

14.4.1 配边关联的第一象征

14.4.2 等变上同调群

14.5 恰当Hamiltonian配边

14.5.1 恰当力矩映射

14.5.2 η-极化Hamiltonian配边

14.6 线性化定理

14.6.1 圈作用情形

14.6.2 带孤立不动点的圈作用

14.6.3 没有不动点的情形

14.6.4 一般的Hamiltonian线性化定理

第15章 线性化定理的应用

15.1 导引

15.2 线性环面作用及其Duistermaat-Heckman测度

15.2.1 线性环面作用的回顾

15.2.2 环面的复表示

15.2.3 环面的实表示

15.2.4 环面的辛表示

15.2.5 力矩映射的像

15.2.6 多面体△α

15.2.7 极化权

15.2.8 归一化某些体积

15.2.9 线性空间的Duistermaat-Heckman测度

15.3 线性化定理的右边部分

15.4 带孤立不动点的环面作用的Duistermaat-Heckman测度

第16章 极小偶对

16.1 主丛

16.1.1 Weinstein的约化构造

16.1.2 联络和联络形式

16.1.3 联络形式

16.1.4 关联丛

16.2 联络形式和力矩映射的配对

16.2.1 T*P上的联络和典范一形式

16.2.2 证明等式（16.2.3）

16.3 丛的拉回

16.3.1 主丛拉回的概念

16.3.2 与约化空间（(T*P)-×F）//G的关系

16.4 曲率及其应用

16.4.1 使用曲率

16.4.2 P上共变外导数和曲率形式

16.4.3 曲率作为B上取值在g（P）内的二形式

16.4.4 关联丛上的曲率形式

16.4.5 曲率和力矩映射的配对

16.4.6 F（P）上的形式σθ