上编 庞加莱与庞加莱猜想

引 言 庞加莱猜想获证

1庞加莱猜想的历史与解法

2格里戈里·佩雷尔曼

3朱熹平

4曹怀东

5丘成桐

6菲尔兹奖

第一章 最后一位通才——庞加莱

第二章 庞加莱和数学

1庞加莱和数学

2数学的未来

3数学的创造

4数学和逻辑

第三章 庞加莱的数学贡献

1函数论

2 Abelian函数和代数几何（学）

3数论

4代数学

5微分方程和天体力学

6天体力学

7偏微分方程和数学物理

8代数拓扑

9数学基础

第四章 庞加莱与米塔-列夫勒

1接触

2创建数学学报

3奥斯卡二世奖

4诺贝尔物理奖

第五章 法国在数学发展中所起的作用

1优秀的传统

2克莱洛的贡献

3拉格朗日与达朗贝尔

4法国在数学中的优越性

5开创新方向

6光辉灿烂的纪念碑

7法国数学的光荣

第六章 九十九年后的庞加莱猜想

1最初的失误

2高维情形

3 Thurston几何化纲领

4微分几何方法和微分方程方法

第七章 庞加莱猜想可能已被证明

第八章 数学界对庞加莱猜想的疑似证明众说纷纭

中编 三维空间与拓扑学

第九章 空间为什么有三维？

1“拓扑学”和连续统

2连续统和截量

3空间和感觉

4空间和运动

5空间和自然界

6“拓扑学”和直觉

第十章 三维流形

庞加莱猜想

第十一章 三维空间里的拓扑等价关系

1拓扑等价关系

2表面的分类

第十二章 什么是拓扑学

1克莱因的定义

2位置与拓扑

3曲面的同胚问题

4近百年来发展的两个方向、基本群

5贝蒂群

6康托的集合论

7一般拓扑学

8布劳威尔

9抽象代数学方法

10几个显著的成果

第十三章 低维拓扑学

1什么是低维拓扑学

2早期的低维拓扑学

3 20世纪60年代和70年代的组合3维拓扑学

4瑟斯顿对曲面的研究工作

5 3维流形上的几何结构

6极小曲面的应用

7单连通闭4维流形的分类

8 4维光滑流形拓扑

9纽结的Jones多项式和Witten的工作

第十四章 从网络理论到拓扑学

第十五章 基本群和同调群的直观描述

1引言

2道路的同伦类

3基本群

4同调群的直观描述

5闭链、边缘链和同调群

第十六章 佩雷尔曼和俄罗斯拓扑学传统

下编 面向大众的拓扑学描述

第十七章 面向大众的拓扑学描述

1塞吉·朗关于拓扑学的演讲

2第二小时演讲

3第三小时演讲

第十八章 漫谈拓扑学

1拓扑学的对象

2最简单的拓扑不变量

3曲面的拓扑学

4抽象几何学

5关于曲线概念

6维数

7基本群

8同调群

9同调理论的某些应用

第十九章 曲线是什么

1曲线概念的发展

2点集论中的一些知识

3康托曲线

4曲线的一般定义

5关于维度的概念

第二十章 直觉的讨论

1拓扑学的主要问题

2闭曲面

3同痕，同伦，同调

4多维流形

第二十一章 希尔伯特谈拓扑

1多面体

2曲面

3单侧曲面

4作为闭曲面的投影平面

5有限连通度曲面的标准形式

6将曲面映成自身的拓扑映射，不动点，映射类，环面的汛覆盖曲面

7环面的保角映射

第二十二章 神奇的二维国

1关于这个国家

2一维国和三维国

第二十三章 生活空间的维度

1维度数学

2心理环境的维度

3个体维度的问题

4生活空间在现实性-非现实性维度上的分化

附录

附录Ⅰ 庞加莱，杰出的数学家、科学家和科学哲学家

附录Ⅱ预备知识

附录Ⅲ结构思想十七讲

附录Ⅳ Manifolds with Density and Perelman’ s Proof of the Poincare Conjectu

附录Ⅴ下个世纪的数学问题

附录Ⅵ Poincare猜想和三维流形分类的近期进展

附录Ⅶ 丘成桐先生在晨兴数学中心的演讲

附录Ⅷ 几何分析

附录Ⅸ The Excerpts from the Ceometric Topology of 3-Manifolds

附录Ⅹ How Famous Can a Function Theorist Be

附录Ⅺ陶哲轩怀念威廉·瑟斯顿

附录Ⅻ 瑟斯顿与低维拓扑

编后语