第一篇 线性空间及线性算子

第一章 R3空间的向量分析

1.1 向量的概念

1.2 R3空间的向量代数

1.3 R3空间的向量分析

1.4 R3空间中向量分析的一些重要公式

第一章 习题

第二章 R3空间曲线坐标系中的向量分析

2.1 R3空间中的曲线坐标系

2.2 曲线坐标系中的度量

2.3 曲线坐标系中标量场梯度的表达式

2.4 曲线坐标系中向量场散度的表达式

2.5 曲线坐标系中向量场旋度的表达式

2.6 曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式

第二章 习题

第三章 线性空间

3.1 线性空间的定义

3.2 线性空间的内积

3.3 Hilbert（希尔伯特）空间

3.4 线性算符

3.5 线性算符的本征值和本征向量

第三章 习题

第二篇 复变函数

第四章 复变函数的概念

4.1 映射

4.2 复数

4.3 复变函数

第四章 习题

第五章 解析函数

5.1 复变函数的导数

5.2 复变函数的解析性

5.3 复势

5.4 解析函数变换

第五章 习题

第六章 复变函数积分

6.1 复变函数的积分

6.2 Cauchy（柯西）积分定理

6.3 Cauchy（柯西）积分公式

6.4 解析函数高阶导数的积分表达式

第六章 习题

第七章 复变函数的级数展开

7.1 复变函数项级数

7.2 解析函数的Taylor（泰勒）展开

7.3 Taylor展开的理论应用

7.4 解析函数的Laurent（洛朗）展开

第七章 习题

第八章 留数定理及其在实积分中的应用

8.1 留数定理

8.2 留数的一般求法

8.3 解析函数在无穷远点的留数

8.4 留数定理在实积分中的应用

8.5 Hilbert（希尔伯特）变换

第八章 习题

第三篇 积分变换与δ函数

第九章 Fourier（傅里叶）变换

9.1 Fourier级数

9.2 Fourier变换

9.3 Fourier变换的基本性质

第九章 习题

第十章 Laplace（拉普拉斯）变换

10.1 Laplace（拉普拉斯）变换

10.2 Laplace变换的基本性质

10.3 Laplace变换的反演

10.4 Laplace变换的应用

第十章 习题

第十一章 δ函数

11.1 δ函数的定义

11.2 δ函数的性质

11.3 δ函数的导数

11.4 三维δ函数

11.5 δ函数的Fourier变换及Fourier级数展开

第十一章 习题

第十二章 小波变换初步

12.1 Gabor（伽博）变换

12.2 小波变换

12.3 小波变换中的Heisenberg（海森堡）不确定性关系

第四篇 数学物理方程

第十三章 波动方程、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题

13.1 二阶线性偏微分方程的普遍形式

13.2 波动方程及其定解条件

13.3 输运方程及其定解条件

13.4 Poisson方程及其定解条件

13.5 Laplace方程和调和函数

13.6 三类方程定解问题小结

第十三章 习题

第十四章 分离变量法

14.1 齐次方程齐次边界条件下的分离变量法

14.2 Sturm-Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题

14.3 非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法

14.4 非齐次边界条件下的分离变量法

14.5 分离变量法小结

第十四章 习题

第十五章 曲线坐标系下方程的分离变量

15.1 球坐标系下方程的分离变量

15.2 柱坐标系下方程的分离变量

15.3 二阶线性常微分方程的级数解法

第十五章 习题

第十六章 球函数

16.1 Legendre（勒让德）多项式

16.2 Legendre多项式的主要性质

16.3 具有轴对称的Laplace方程的求解

16.4 连带Legendre函数

16.5 球函数

附录：球函数的加法公式

第十六章 习题

第十七章 柱函数

17.1 Bessel（贝塞尔）函数

17.2 Bessel函数的递推关系

17.3 柱函数的定义

17.4 整数阶Bessel函数Jm（x）的生成函数

17.5 Bessel方程的本征值问题

17.6 虚宗量Bessel函数

17.7 Hankel（汉克尔）函数

17.8 球Bessel函数

第十七章 习题

第十八章 Green（格林）函数法

18.1 微分算子的基本解和Green函数的定义

18.2 Laplace算子的基本解

18.3 Laplace算子的Green函数

18.4 Laplace算子的镜像Green函数法

18.5 Helmholtz算子的基本解

18.6 输运算子的Green函数

18.7 波动算子的基本解

第十八章 习题

第十九章 其他求解方法及方程

19.1 积分变换法

19.2 行波法

19.3 冲量定理法

19.4 Schr？dinger（薛定谔）方程、谐振子势

附录：Hermite多项式的性质

第十九章 习题

第二十章 非线性数学物理方程初步

20.1 Huygens（惠更斯）等时摆问题

20.2 KdV方程和孤立波

20.3 一类非线性方程的齐次平衡解法

第五篇 变分法初步

第二十一章 泛函的变分

21.1 泛函的概念

21.2 泛函的变分

第二十二章 变分原理

22.1 泛函的极值

22.2 变分原理、Euler-Lagrange（欧拉-拉格朗日）方程

22.3 Hamilton（哈密顿）原理

22.4 Hamilton泛函和正则方程

22.5 带约束条件的泛函变分

22.6 Noether（诺德）定理

第二十一、二十二章 习题

附录：分离变量法

主要参考文献