Ⅰ偏微分方程解的渐近行为

1热传导方程解靠近时间无穷远的渐近行为

1.1解靠近时间无穷远的渐近行为

1.1.1解的衰减估计

1.1.2Lp-Lq估计

1.1.3导数的Lp-Lq估计

1.1.4时间无穷远附近的渐近行为之定理

1.1.5使用解的表现式证明

1.1.6积分形式的均值定理

1.2方程之结构和自相似解

1.2.1尺度伸缩变换下的不变性

1.2.2热传导方程之守恒量

1.2.3尺度伸缩变换保持守恒量

1.2.4总结：尺度伸缩变换的性质

1.2.5自相似解

1.2.6使用尺度伸缩变换的渐近公式之表达式

1.2.7根据尺度伸缩变换之证明的思路

1.3紧致性

1.3.1连续函数组成的函数族

1.3.2Ascoli-Arzela类型的紧致性定理

1.3.3尺度伸缩函数族的相对紧致性

1.3.4空间变量的衰减估计

1.3.5收敛子序列的存在性

1.3.6引理

1.4极限函数之刻划

1.4.1初值的极限

1.4.2热传导方程初值问题的弱形式

1.4.3初值问题之弱解

1.4.4热传导方程解序列的极限

1.4.5尺度伸缩函数族之极限的刻划

1.4.6初始值是delta函数的唯一性定理

1.4.7渐近公式（1.9）证明之完成：根据尺度伸缩变换

1.4.8唯一性定理的注解

2涡度方程的解在时间无穷远附近的行为

2.1Navier-Stokes方程与涡度方程

2.1.1涡度

2.1.2涡度与速度

2.1.3Biot-Savart定律

2.1.4涡度方程的推导

2.2时间无穷远附近的渐近行为

2.2.1唯一存在定理

2.2.2涡度的渐近行为定理

2.2.3尺度伸缩不变

2.2.4总环流量的守恒

2.2.5旋转对称的自相似解

2.3具传输项之热传导方程解的整体Lq-L1估计

2.3.1基本Lq-Lr估计

2.3.2每次改变Lr-范数的比例：积分等式

2.3.3L1-范数的非递减性

2.3.4Nash不等式的应用

2.3.5基本Lq-L1估计的证明

2.3.6基本Lq-L1估计之推广

2.3.7最大值原理

2.3.8非负性的保持

2.4涡度方程解的估计

2.4.1涡度和速度的估计

2.4.2涡度导数的估计

2.4.3涡度在空间变量的衰减估计

2.5渐近公式的证明

2.5.1作为弱解的极限函数之刻划

2.5.2极限函数的估计

2.5.3弱解满足的积分方程

2.5.4极限方程解的唯一性

2.5.5完成渐近公式之证明

2.6Burgers涡旋的形成

2.6.1收敛到Burgers涡旋

2.6.2非对称的Burgers涡旋

2.7Navier-Stokes方程及相关主题的自相似解

2.7.1涡度的渐近行为研究之简史

2.7.2解的存在性问题

2.7.3自相似解

2.8对于大环流之极限方程的唯一性

2.8.1弱解的唯一性

2.8.2相对熵

2.8.3熵的有界性

2.8.4重尺度伸缩变换

2.8.5唯一性定理的证明

2.8.6关于涡度的渐近行为之注解

3各种方程的自相似解

3.1多孔介质方程

3.1.1保持总质量的自相似解

3.1.2弱解

3.1.3渐近公式

3.2向后自相似解的角色

3.2.1轴对称平均曲率流方程

3.2.2向后自相似解和相似变数

3.2.3非平凡自相似解的不存在性

3.2.4解在捏点附近的渐近行为

3.2.5单调公式

3.2.6半线性热传导方程和调和映射流方程

3.3非扩散型方程

3.3.1非线性Schrodinger方程

3.3.2KdV方程

3.4附注和评论

3.4.1先验上界

3.4.2向前自相似解的相关结果

Ⅱ有用的解析工具

4热传导方程解的各种性质

4.1卷积、Young不等式与Lp-Lq估计

4.1.1Young不等式

4.1.2Lp-Lq估计的证明

4.1.3卷积的代数性质

4.1.4微分和卷积的交换

4.1.5极限和微分的交换

4.1.6热传导方程解的平滑性

4.2热传导方程的初始值

4.2.1收敛到初始值

4.2.2一致连续性

4.2.3收敛定理

4.2.4系

4.2.5收敛定理4.2.3的应用

4.3非齐次热传导方程

4.3.1解的表现式

4.3.2非齐次方程的解：初始值为零的情形

4.3.3非齐次方程的解：一般情形

4.3.4在t＝0的奇异非齐次项

4.4热传导方程解的唯一性

4.4.1唯一性定理1.4.6的证明

4.4.2基本的唯一性定理

4.4.3非齐次方程

4.4.4具有传输项热传导方程的唯一可解性

4.4.5基本解和它们的性质

4.5分部积分法

4.5.1全空间之分部积分的一个例子

4.5.2全空间的散度定理

4.5.3有界区域的分部积分

5紧致性定理

5.1紧致的定义域

5.1.1Ascoli-Arzela定理

5.1.2紧致嵌入

5.2非紧致定义域

5.2.1Ascoli-Arzela型紧致定理

5.2.2子序列的构造

5.2.3等程度衰减与一致收敛

5.2.4引理1.3.6的证明

5.2.5高阶导数的收敛

6微积分不等式

6.1Gagliardo-Nirenberg不等式与Nash不等式

6.1.1Gagliardo-Nirenberg不等式

6.1.2Nash不等式

6.1.3Nash不等式的证明

6.1.4Gagliardo-Nirenberg不等式的证明（σ＜1的情形）

6.1.5关于证明的注解

6.1.6关于假设（6.3）的一个注解

6.2Riesz位势的有界性

6.2.1Hardy-Littlewood-Sobolev不等式

6.2.2分配函数与Lp-可积性

6.2.3Lorentz空间

6.2.4Marcinkiewicz插值定理

6.2.5Riesz位势的高斯核表现式

6.2.6Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的证明

6.2.7证明之完成

6.3Sobolev不等式

6.3.1Laplace的反元素（n≥3）

6.3.2Laplace的反元素（n＝2）

6.3.3Sobolev不等式的证明（r＞1）

6.3.4Sobolev不等式的基本证明（r＝1）

6.3.5牛顿位

6.3.6积分符号后微分之注解

6.4奇异积分算子的有界性

6.4.1立方体分解

6.4.2Calderon-Zygmund不等式

6.4.3L2有界性

6.4.4弱L1估计

6.4.5证明之完成

6.5注释和评论

7积分理论的收敛定理

7.1积分与极限运算之互换

7.1.1控制收敛定理

7.1.2Fatou引理

7.1.3单调收敛定理

7.1.4Riemann积分的收敛性

7.2积分与微分的交换

7.2.1积分符号后微分

7.2.2积分顺序的交换

7.3有界延拓

习题解答

参考著作之补充评论

词汇表

References

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