第1章 绪论——纵观古今，面向未来

1 数学的重要性

1.数学与对知识的探求

2.数学的重要性

3.两种文化的融合

4.指导思想

2 数学史上的关键时期

1.五个质不同的时期

2.四个高峰期

3.七次飞跃

3 数学的特点与教育价值

1.数学的特点

2.数学的教育价值

4 如何学

1.鉴赏力

2.致广大而尽精微

3.澄其源而清其流

4.循序渐进

5.笛卡儿的方法论

6.以简驭繁

7.从师、读书与讨论

8.验证与总结

9.刻苦努力——不受一番冰霜苦，哪有梅花放清香

第2章 数学文化的源头

1 数学文化的源头

2 希腊人的哲学观及其影响

1.数学的真理性

2.柏拉图与亚里士多德

3.柏拉图、亚里士多德与西方文化

3 古代希腊的天文学

1.早期的地心说

2.日心说的提出

3.第一次科学大综合

4 从经验数学到演绎数学

1.经验数学

2.希腊人对数学思想的贡献

3.演绎几何的诞生

5 演绎数学

1.演绎法的结构

2.演绎推理的地位

3.合情推理与论证推理

6 希腊数学的重要成果

1.毕达哥拉斯学派发现无理数

2.正多边形作图

3.圆锥曲线

4.阿基米德的数学成就

5.三角术的创立

7 留给后人的难题

1.关于无理数

2.几何作图三大问题

第3章 现代科学的发端

1 科学方法

1.培根与归纳法

2.笛卡儿与演绎法

3.归纳法与演绎法

4.伽利略的科学规划

5.三大要素

2 科学的数学化

1.宇宙的和谐

2.近代科学的黎明——哥白尼革命

3.哥白尼体系的真理性

3 天体力学的诞生

1.开普勒的三定律

2.开普勒的天文学与正多面体

4 牛顿力学的建立

1.牛顿面临的问题

2.苹果、月亮和万有引力

3.奇妙的预测

第4章 绘画艺术与几何学

1 科学与艺术

1.美与真

2.异同比较

3.相互依存

2 绘画与数学

1.绘画与科学

2.新的时代，新的艺术

3.引入第三维

4.数学的引入

5.艺术家丢勒

6.数学定理

7.从艺术中诞生的科学

3 完美的结合，艺术的顶峰

1.文艺复兴早期的绘画

2.盛期文艺复兴三杰

3.风景画

第5章 数的扩充史

1 数的基本知识

1.两种知识

2.数的用途

3.五个主要阶段

4.十进位制

5.印度-阿拉伯记数法

6.数的几何表示——数轴与复平面

2 关键进展

1.新的语言

2.无理数的诞生

3.0的发现

4.负数的引入

5.数与代数方程

6.复数

7.代数数与超越数

8.希尔伯特第七问题

3 新的数系

1.四元数的诞生

2.四元数的性质

3.矩阵

4.超限数

4 可数集

1.势的概念

2.有理数集是可数的

5 数系的公理化

1.皮亚诺的五条公理

2.有理数的定义

3.有理数的两条重要性质

4.实数的定义

第6章 解析几何概要

1 两个基本概念

1.解析几何的诞生

2.两个基本概念

2 圆锥曲线

1.希腊数学的顶峰

2.椭圆、双曲线、抛物线

3.二次曲线的光学性质

4.观测宇宙

3 化二次方程为标准形

1.九种标准形

2.坐标变换

3.化二次方程为标准形

4 向量代数

1.向量

2.向量的加减法与数乘

3.向量的坐标表示

4.数量积和它的性质

5 应用与意义

1.解析几何解决的主要问题

2.解析几何的伟大意义

第7章 微积分发展史

引言

1.目的

2.概观

3.分期

1 希腊时期

1.数的学问

2.芝诺的四个悖论

3.欧多克苏斯和比例

4.面积与穷竭法

5.阿基米德的平衡法

2 酝酿时期

1.方法的变革

2.开普勒的工作

3.不可分素方法

4.微分学的早期史

5.巴罗的贡献

6.前期史小结

3 诞生和发展时期

1.发现和洞见

2.牛顿对微积分的主要贡献

3.莱布尼茨对微积分的主要贡献

4.18世纪的进展

5.第二次数学危机

6.待解决的问题

4 严格化时期

1.函数概念

2.布尔查诺的贡献

3.柯西的工作

4.分析的算术化

第8章 傅里叶分析与音乐

1 音律的确定

1.古希腊音律的确定

2.中国古代对音律的贡献

3.十二平均律

2 数学与音乐的进一步联系

1.梅森的定律

2.伟大的傅里叶

3.简谐振动

4.弹簧的振动

5.傅里叶定理

6.大自然的统一性

7.麦克斯韦的功绩

8.小结

第9章 非欧几何的诞生及影响

1 欧氏几何回顾

1.欧氏几何的内容

2.欧氏几何的历史地位

3.《几何原本》在中国

2 非欧几何的缘起

1.平行公设引起的思考

2.从《几何原本》的诞生到18世纪

3.非欧几何的孕育时期

3 非欧几何的确立

1.非欧几何的诞生

2.罗巴切夫斯基的解答

3.一个全新的世界

4.双曲几何的相容性

4 椭圆几何

1.黎曼的非欧几何

2.球面几何

3.欧氏几何与非欧几何比较

5 新的里程碑

1.非欧几何诞生的意义

2.微分几何

3.爱尔兰根纲领

4.几何学的进一步发展

6 非欧几何学与艺术

1.艺术中的教学家

2.双曲几何学与艺术

第10章 重温代数学

1 符号代数的发展

1.文字阶段

2.简写阶段

3.符号阶段

2 代数学发展的三个不同时期

1.代数学的诞生

2.代数方程式论

3.代数结构

3 代数方程式论

1.方程式论

2.代数基本定理

3.根与系数的关系——韦达定理

4.五次以上的代数方程

4 三次代数方程与四次代数方程

1.单位根

2.化为缺项的方程

3.三次代数方程的解

4.解的确定

5.三次代数方程解法小结

6.四次代数方程解法概要

5 群和域

1.群的定义

2.置换群

3.对称中的对称——子群

4.域的概念

5.伽罗瓦理论

6 代数与古典几何名题

1.几何中的三大经典问题

2.化为代数问题

3.三大经典问题不可解的证明

第11章 数学的广阔用场

1 数学与自然科学

1.电磁现象

2.物理学新的里程碑

3.概率论与太空旅行

4.化学

5.生物科学

2 数学与人文科学

1.人文科学与数学教育的历史

2.数学和人文科学之间的桥梁

3.数理语言学

4.选票分配问题

5.文学与统计学

6.诺贝尔经济学奖与数学

7.数学与西方政治

参考书目