第一章 微商

1.1微积分研究什么

1.1.1微积分与初等数学研究对象的比较

1.1.2微积分研究的两类典型问题

1.2预备知识

1.2.1逻辑符号

1.2.2邻域

1.2.3不等式

1.2.4数列极限

习题1-2

1.3函数

1.3.1函数的概念

1.3.2函数的运算

1.3.3函数的改变量与差商

1.3.4复合运算@复合函数

1.3.5函数的几种特性

1.3.6函数模型

习题1-3

1.4函数的极限

1.4.1 x→x0时函数f（x）的极限

1.4.2函数极限的运算与性质

1.4.3第一个重要极限

习题1-4

1.5函数的连续性

1.5.1连续与间断的直观描述

1.5.2连续与间断的定义

1.5.3初等函数的连续性

1.5.4闭区间上连续函数的性质

习题1-5

1.6函数在无穷远处的极限

1.6.1 x→∞时函数f（x）的极限

1.6.2第二个重要极限

习题1-6

1.7无穷小量及其比较

1.7.1无穷小量

1.7.2无穷小量的比较

习题1-7

1.8微商

1.8.1微积分的典型问题之一——切线问题

1.8.2微商概念

1.8.3可微性与连续性

1.8.4数学怪物——科赫（Koch）雪花曲线·分形几何学简介

习题1-8

第一章的重要概念与公式

总练习题一

第二章 微分法

2.1微商的运算法则

2.1.1基本微商公式

2.1.2函数和、差、积、商的微商法则

2.1.3反函数微商法则

2.1.4复合函数微商法则

2.1.5隐微分法

习题2-1

2.2高阶微商

2.2.1高阶微商

2.2.2关于函数乘积微商的莱布尼茨（Leibniz）公式

习题2-2

2.3微分及其应用

2.3.1微分及其运算

2.3.2微分的应用

习题2-3

第二章的重要概念与公式

总练习题二

第三章 微商的应用

3.1微分中值定理

3.1.1函数的极值与费马（Fermat）引理

3.1.2微分中值定理

3.1.3微分中值定理的证明

习题3-1

3.2用微商研究函数

3.2.1函数单调性的判别法

3.2.2函数极值的检验法

3.2.3曲线的凸性与拐点

3.2.4函数作图

习题3-2

3.3最优化问题

3.3.1最大值、最小值

3.3.2最优化问题

习题3-3

3.4相对变化率与相关变化率

3.4.1边际与边际分析

3.4.2弹性与弹性分析

3.4.3相关变化率

习题3-4

3.5洛必达（L’Hospital）法则

3.5.1洛必达法则

3.5.2洛必达法则的证明

3.5.3其他类型不定式的极限

习题3-5

第三章的重要概念与公式

总练习题三

第四章 积分及其应用

4.1定积分

4.1.1微积分的典型问题之二——面积问题

4.1.2定积分概念

4.1.3可积的充分条件

习题4-1

4.2定积分与原函数的关系

4.2.1直观背景

4.2.2原函数与不定积分

4.2.3微积分基本定理

习题4-2

4.3定积分的性质

习题4-3

4.4积分法

4.4.1直接积分法

4.4.2换元积分法

4.4.3分部积分法

4.4.4积分表的使用

4.4.5数值积分法

习题4-4

4.5定积分的应用

4.5.1反常积分

4.5.2面积、体积、弧长的计算

4.5.3定积分在经济管理与社会科学中的应用

习题4-5

第四章的重要概念与公式

总练习题四

第五章 微分方程与差分方程

5.1微分方程基础

5.1.1实际背景

5.1.2基本概念

习题5-1

5.2一阶微分方程

5.2.1可分离变量的微分方程

5.2.2齐次（微分）方程

5.2.3一阶线性微分方程

5.2.4微分方程的应用（连续模型）

习题5-2

5.3二阶微分方程

5.3.1可降阶的二阶微分方程

5.3.2二阶常系数线性微分方程

5.3.3微分方程组

习题5-3

5.4差分方程

5.4.1差分方程基础

5.4.2一阶常系数线性差分方程

5.4.3二阶常系数线性差分方程

5.4.4差分方程的应用（离散模型）

习题5-4

第五章的重要概念与公式

总练习题五

第六章 多元函数微分学

6.1曲面与空间曲线

6.1.1空间直角坐标系

6.1.2曲面

6.1.3空间曲线

6.1.4向量及其运算

习题6-1

6.2多元函数

6.2.1多元函数概念

6.2.2等高线·等产量线

6.2.3二元函数的极限与连续

习题6-2

6.3偏微商

6.3.1偏微商与全微分

6.3.2偏微商的应用

6.3.3高阶偏微商

习题6-3

6.4多元复合函数微分法

6.4.1多元复合函数微分法

6.4.2隐微分法

习题6-4

6.5最优化问题

6.5.1二元函数的极值

6.5.2无约束最优化问题

6.5.3约束最优化问题

6.5.4最小二乘法与数学建模

6.5.5线性规划

习题6-5

第六章的重要概念与公式

总练习题六

第七章 二重积分

7.1二重积分概念

7.1.1实际背景

7.1.2二重积分定义

7.1.3二重积分的性质

习题7-1

7.2二重积分的计算

7.2.1在直角坐标下计算二重积分

7.2.2在极坐标下计算二重积分

习题7-2

7.3二重积分的应用

7.3.1用二重积分计算概率积分∫+∞/0 e-x2dx

7.3.2用二重积分计算体积与面积

7.3.3二重积分在社会科学中的应用

习题7-3

第七章的重要概念与公式

总练习题七

第八章 无穷级数

8.1数项级数

8.1.1基本概念

8.1.2基本性质·级数收敛的必要条件

8.1.3正项级数的收敛检验法

8.1.4交错级数·莱布尼茨检验法

8.1.5绝对收敛·条件收敛

习题8-1

8.2幂级数

8.2.1幂级数概念与性质

8.2.2幂级数的收敛半径

8.2.3幂级数的运算

习题8-2

8.3泰勒级数

8.3.1问题的提出

8.3.2泰勒公式

8.3.3函数的泰勒展开式

8.3.4泰勒级数的应用

习题8-3

第八章的重要概念与公式

总练习题八

附录一MATLAB基础知识简介

1 MATLAB快速入门

2 变量与数据

3 MATLAB库函数

4 逻辑运算与控制语句

5 M文件与M函数

附录二 数学实验

实验一 方程根的近似计算

实验二 一元函数图形的绘制

实验三 数值积分

实验四 微分方程的数值解法

实验五 空间图形的绘制

实验六 利用泰勒级数作近似计算

实验七 综合设计实验——绘制特殊曲线

附录三 常用几何曲线

附录四 积分表

部分习题答案

名词术语索引

参考文献