第1章 函数与极限

1.1函数

1.1.1数集与邻域

1.1.2函数的概念

1.1.3函数的表示法

1.1.4函数的特性

1.1.5初等函数

1.1.6双曲函数与反双曲函数

习题1.1

1.2数列的极限

1.2.1数列的概念

1.2.2极限思想概述

1.2.3数列极限的定义

1.2.4数列极限的性质

习题1.2

1.3函数的极限

1.3.1函数极限的定义

1.3.2函数极限的性质

习题1.3

1.4无穷小与无穷大

1.4.1无穷小与无穷大的定义

1.4.2无穷小与无穷大的关系

1.4.3无穷小与函数极限的关系

1.4.4无穷小的性质

习题1.4

1.5极限运算法则

1.5.1极限的四则运算法则

1.5.2复合函数的极限运算法则

习题1.5

1.6极限存在准则两个重要极限

1.6.1极限存在准则

1.6.2两个重要极限

习题1.6

1.7无穷小的比较

习题1.7

1.8函数的连续性和间断点

1.8.1函数连续的概念

1.8.2连续函数的运算性质

1.8.3初等函数的连续性

1.8.4函数的间断点及其分类

习题1.8

1.9闭区间上连续函数的性质

习题1.9

总习题1

阅读材料极限思想的产生发展与完善

第2章 导数与微分

2.1导数的概念

2.1.1引例

2.1.2导数的定义

2.1.3按定义求导数举例

2.1.4导数的几何意义

2.1.5可导与连续的关系

习题2.1

2.2基本导数公式与函数的求导法则

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则

2.2.2反函数的求导法则

2.2.3基本导数公式

2.2.4复合函数的求导法则

2.2.5分段函数的求导法

习题2.2

2.3高阶导数

2.3.1高阶导数的概念

2.3.2高阶导数的求法

习题2.3

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

2.4.1隐函数的求导方法

2.4.2幂指函数及“乘积型”复杂函数的求导方法

2.4.3由参数方程所确定的函数的求导法则

2.4.4相关变化率

习题2.4

2.5函数的微分

2.5.1微分的定义

2.5.2可导与可微的关系

2.5.3微分的几何意义

2.5.4基本微分公式与微分的运算法则

2.5.5微分在近似计算中的应用

习题2.5

总习题2

阅读材料 笛卡儿——近代科学的始祖

第3章 微分中值定理及导数的应用

3.1微分中值定理

3.1.1罗尔定理

3.1.2拉格朗日中值定理

3.1.3柯西中值定理

习题3.1

3.2洛必达法则

3.2.1 0/0型及∞/∞型未定式

3.2.2其他类型未定式

习题3.2

3.3泰勒公式与麦克劳林公式

3.3.1泰勒公式

3.3.2几个函数的麦克劳林公式

习题3.3

3.4函数的单调性和极值

3.4.1函数的单调性判定

3.4.2函数的极值及其求法

3.4.3最大值 最小值

习题3.4

3.5曲线的凹凸性与拐点

习题3.5

3.6函数图形的描绘

3.6.1曲线的渐近线

3.6.2函数图形的描绘

习题3.6

3.7曲率

3.7.1弧微分

3.7.2曲率的定义及计算

3.7.3曲率圆与曲率中心

3.7.4曲率中心的计算 渐屈线与渐伸线

习题3.7

3.8方程的近似解

3.8.1二分法

3.8.2牛顿切线法

习题3.8

总习题3

阅读材料 拉格朗日——高耸在数学世界的金字塔

第4章 不定积分

4.1不定积分的概念与性质

4.1.1原函数与不定积分的概念

4.1.2不定积分的性质

4.1.3基本积分公式

习题4.1

4.2换元积分法

4.2.1第一类换元法

4.2.2第二类换元法

习题4.2

4.3分部积分法

习题4.3

4.4有理函数与三角有理式的积分

4.4.1有理函数的积分

4.4.2三角有理式的积分

习题4.4

总习题4

阅读材料 数学大师欧拉

第5章 定积分

5.1定积分的概念与性质

5.1.1定积分问题举例

5.1.2定积分的定义

5.1.3定积分的几何意义

5.1.4定积分的近似计算

5.1.5定积分的性质

习题5.1

5.2微积分基本公式

5.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

5.2.2积分上限的函数及其导数

5.2.3牛顿-莱布尼茨公式

习题5.2

5.3定积分的换元法和分部积分法

5.3.1定积分的换元法

5.3.2定积分的分部积分法

习题5.3

5.4反常积分

5.4.1无穷限的反常积分

5.4.2无界函数的反常积分

5.4.3 Г函数

习题5.4

总习题5

阅读材料 微积分的酝酿与诞生

第6章 定积分的应用

6.1定积分的微元法

6.2定积分在几何学上的应用

6.2.1平面图形的面积

6.2.2体积

6.2.3平面曲线的弧长

6.2.4旋转曲面的表面积

习题6.2

6.3定积分在物理学上的应用

6.3.1变力沿直线所做的功

6.3.2液体的压力

6.3.3引力

习题6.3

总习题6

阅读材料心形线——笛卡儿爱情的传说

第7章 无穷级数

7.1常数项级数的概念与性质

7.1.1常数项级数的概念

7.1.2常数项级数的基本性质

7.1.3柯西审敛原理

习题7.1

7.2常数项级数的审敛法

7.2.1正项级数及其审敛法

7.2.2交错级数及其审敛法

7.2.3绝对收敛与条件收敛

习题7.2

7.3幂级数

7.3.1函数项级数的一般概念

7.3.2幂级数及其收敛域

7.3.3幂级数的运算与性质

习题7.3

7.4函数展开成幂级数

7.4.1泰勒级数

7.4.2函数展开成幂级数的方法

习题7.4

7.5函数幂级数展开式的应用

习题7.5

7.6傅里叶级数

7.6.1三角级数、三角函数系的正交性

7.6.2函数展开成傅里叶级数

7.6.3正弦级数和余弦级数

习题7.6

7.7一般周期函数的傅里叶级数

习题7.7

总习题7

阅读材料 数学史上一颗闪耀的流星——天才数学家阿贝尔

附录

附录A反三角函数简介

附录B几种常见的曲线

附录C积分表

部分习题答案与提示

参考文献