第1章 绪论

1.1 引言

1.2 基本概念

1.3 线性偏微分方程基本性质

1.4 二阶线性偏微分方程

1.5 定解条件和定解问题

1.6 适定性

1.7 叠加原理

1.8 傅立叶级数

1.8.1 单重傅立叶级数

1.8.2 二重傅立叶级数

1.8.3 三重傅立叶级数

1.9 积分变换

1.9.1 傅立叶积分变换

1.9.2 拉普拉斯变换

1.9.3 梅林变换

1.9.4 汉克尔变换

1.9.5 勒让德变换

1.10 伽马函数

第2章 直角坐标系下的分离变量法

2.1 概述

2.2 分离变量法实施过程

2.2.1 两端固定弦的振动问题

2.2.2 矩形域内的各向同性热传导稳态问题

2.2.3 二维矩形域内各向同性热传导非稳态问题

第3章 直（斜）角坐标系下的偏微分方程复数分离变量法（复数级数方法）

3.1 概述

3.2 直角坐标下偏微分方程复数级数方法实施过程

3.2.1 各向异性矩形板横向弯曲问题

3.2.2 矩形域各向异性稳态热传导复数级数方法解

3.3 斜角坐标下偏微分方程复数级数方法实施过程

3.3.1 各向异性斜形板横向弯曲问题

3.3.2 各向异性斜形域稳态温度场解析解

3.4 数学物理实数化原理

3.5 偏微分方程复数级数方法实施要点

第4章 贝塞尔函数方法

4.1 贝塞尔方程的导出

4.2 贝塞尔函数的递推公式

4.3 贝塞尔级数展开

4.4 变形贝塞尔函数

4.5 Kelvin函数

4.6 球贝塞尔函数

4.7 变形球贝塞尔函数

第5章 圆域各向异性非稳态热传导方程解析——复数柱多项式与复数柱函数

5.1 极坐标下的各向异性热传导方程

5.2 各向异性圆域稳态温度场解析

5.3 Zip微分方程，复数柱多项式与复数柱函数和非稳态温度场解析解

5.3.1 Zip微分方程，复数柱多项式与复数柱函数

5.3.2 给定温度边界条件的实心圆柱非稳态热传导解析解

5.3.3 复数多项式函数Zip l，n（x）初步分析

5.3.4 计算程序

5.3.5 数值实验

5.3.6 复数柱函数解实数化证明

5.4 复数柱函数展开定理与复数柱多项式研究

5.4.1 复数柱函数展开定理证明

5.4.2 Zip l，n（x）多项式与贝塞尔函数的关系

5.4.3 Zip（x）多项式的微分公式、递推关系式和积分公式

5.5 第二类复数柱多项式定义及其递推公式

5.6 第三类复数柱多项式定义及其递推公式

5.7 复数柱多项式函数渐近展开

5.8 其他边界条件下的圆域非稳态热传导问题求解

5.8.1 给定第二类边界条件的实心圆域非稳态热传导解

5.8.2 侧面具有第三类边界条件的各向异性实心柱体热传导非稳态解

5.9 圆环域非稳态热传导求解与复数柱环函数圆环域展开定理

5.9.1 侧面具有第一类边界条件的各向异性圆环域非稳态问题与复数柱环函数圆环域展开定理

5.9.2 复数柱环函数Sipn（x）einθ圆环域展开定理

5.9.3 侧面具有第二、三类边界条件的各向异性圆环域热传导非稳态解

第6章 各向异性圆柱体稳态热传导方程柱对称问题——复数柱对称函数

6.1 控制偏微分方程和复数柱对称函数

6.2 柱侧面具有第一类边界条件的各向异性实心柱体热传导解

6.3 柱侧面具有第二类边界条件的各向异性实心柱体热传导解

6.4 柱侧面具有第三类边界条件的各向异性实心柱体热传导解

6.5 柱侧面具有第一类边界条件的各向异性空心柱体热传导解

6.6 柱侧面具有第二类边界条件的各向异性空心柱体热传导解

6.7 侧面具有第三类边界条件的各向异性空心柱体热传导解

6.8 各向同性圆柱体稳态热传导方程中心轴对称问题解

第7章 三维各向异性圆柱稳态热传导方程——系列变形复数柱多项式和复数函数

7.1 柱坐标下的三维各向异性圆柱体稳态温度场偏微分方程

7.2 变形Zip方程，变形复数柱多项式和变形复数柱函数及A型各向异性柱体热传导解析解

7.2.1 柱侧面具有第一类边界条件的A型各向异性实心圆柱体热传导

7.2.2 柱侧面具有第二类边界条件的A型各向异性实心圆柱体热传导

7.2.3 柱侧面具有第三类边界条件的A型各向异性实心柱体热传导

7.2.4 柱侧面具有第一类边界条件的A型各向异性空心柱体热传导

7.2.5 柱侧面具有第二类边界条件的A型各向异性空心柱体热传导

7.2.6 柱侧面具有第三类边界条件的A型各向异性空心柱体热传导

7.3 变形复数柱函数研究

7.3.1 Zip（x）多项式与变形贝塞尔函数的关系

7.3.2 Zip（x）多项式的微分公式与递推关系式

7.4 第二类变形复数柱多项式定义及其递推公式

7.5 第三类变形复数柱多项式函数定义及其递推公式

7.6 有关变形复数柱函数的积分公式

7.7 三维B型各向异性圆柱稳态热传导方程——B型柱多项式

7.7.1 柱侧面具有第一类边界条件——B型各向异性实心圆柱体稳态问题解

7.7.2 柱侧面具有第二类边界条件的B型各向异性实心柱体热传导解

7.7.3 侧面具有第三类边界条件的B型各向异性实心柱体热传导解

7.7.4 侧面具有第一类边界条件的B型各向异性空心柱体热传导解

7.7.5 侧面具有第二类边界条件的B型各向异性空心柱体热传导解

7.7.6 侧面具有第三类边界条件的B型各向异性空心柱体热传导解

7.8 三维C型各向异性圆柱稳态热传导方程——C型复数柱多项式

7.8.1 侧面具有第一类边界条件的C型各向异性实心圆柱体

7.8.2 侧面具有第二类边界条件的C型各向异性实心柱体热传导解

7.8.3 侧面具有第三类边界条件的C型各向异性实心柱体热传导稳态解

7.8.4 侧面具有第一类边界条件的C型各向异性空心柱体热传导解

7.8.5 侧面具有第二类边界条件的C型各向异性空心柱体热传导解

7.8.6 侧面具有第三类边界条件的C型各向异性空心柱体热传导解

7.9 一般三维各向异性圆柱稳态热传导方程

7.9.1 柱侧面具有第一类边界条件的一般各向异性实心圆柱体稳态解

7.9.2 柱侧面具有第二类边界条件的一般各向异性实心柱体热传导解

7.9.3 柱侧面具有第三类边界条件的一般各向异性实心柱体热传导解

7.9.4 柱侧面具有第一类边界条件的一般各向异性空心柱体热传导解

7.9.5 柱侧面具有第二类边界条件的一般各向异性空心柱体热传导解

7.9.6 柱侧面具有第三类边界条件的一般各向异性空心柱体热传导解

7.10 各向异性柱方程与合流超几何方程的关系

第8章 三维各向异性圆柱体非稳态热传导方程——复数柱体函数

8.1 三维各向异性圆柱体非稳态温度场偏微分方程及求解

8.2 复数柱体函数展开定理

8.3 求解模式及数值实验

8.4 其他边界条件下的A型各向异性柱体热传导非稳态问题

8.4.1 柱侧面具有第二类边界条件、顶（底）端为第一类边界条件实心柱体

8.4.2 柱侧面具有第三类边界条件、顶（底）端为第一类边界条件的实心柱体

8.4.3 柱侧面具有第一类边界条件、顶（底）端为第一类边界条件空心柱体

8.4.4 柱侧面具有第二类边界条件、顶（底）端为第一类边界条件空心柱体

8.4.5 柱侧面具有第三类边界条件、顶（底）端为第一类边界条件空心柱体

8.5 特征值λ的求解

第9章 表面与环境换热的各向异性圆薄板稳态热传导方程——变形复数球柱多项式与变形复数球柱函数

9.1 极坐标下的板面与外界换热圆薄板稳态热传导控制方程

9.2 变形复数球柱多项式、变形球Zip方程及各向异性圆板热传导解

9.2.1 变形Zip方程和变形复数柱多项式

9.2.2 表面与环境换热的各向异性圆板热传导解

9.2.3 多项式函数Y（l）n（x）和变形复数球柱多项式？ip l，n（x）关系

9.2.4 数值实验

9.3 变形复数球柱函数实数化分析

9.4 变形复数球柱多项式特性分析

9.4.1 变形复数球柱多项式？ip l，n（x）与变形球贝塞尔函数、变形复数柱多项式的关系

9.4.2 ？ip l，n（x）多项式的微分公式、递推关系式和有关积分公式研究

9.5 第二类变形复数球柱多项式定义及其微分公式、递推公式

第10章 各向异性二维圆薄板非稳态热传导方程——复数球柱多项式与复数球柱函数

10.1 各向异性二维圆薄板非稳态热传导偏微分方程

10.2 复数球柱多项式、球Zip方程及各向异性圆板非稳态热传导解

10.2.1 球Zip方程和复数球柱多项式

10.2.2 具有第一类边界条件的实心圆板非稳态热传导解

10.2.3 复数球柱多项式研究

10.2.4 计算程序

10.2.5 数值实验

10.3 复数球柱函数实数化分析

10.4 复数球柱函数展开定理证明

10.5 复数球柱多项式的微分公式、递推关系式和积分公式

10.5.1 Cip（x）多项式的微分公式

10.5.2 Cip（x）多项式递推关系式

10.5.3 有关Cip（x）的积分公式

10.6 第二类复数球柱多项式定义及其递推公式

10.7 第三类复数球柱多项式定义及其递推公式

10.8 其他边界条件下的薄圆板非稳态热传导问题求解

10.8.1 给定第二类边界条件的实心薄圆板非稳态热传导

10.8.2 具有第三类边界条件的实心薄圆板柱体非稳态热传导

10.9 各向异性圆环薄板非稳态热传导与复数球柱环函数展开定理

10.9.1 柱侧面边界具有第一类边界条件的各向异性薄圆环板求解

10.9.2 复数球柱环函数圆环域展开定理

10.10 具有第二、三类边界条件的各向异性圆环薄板非稳态热传导

第11章 各向异性圆柱薄壳稳态热传导方程——一般复数柱面函数

11.1 各向异性圆柱薄壳稳态热传导求解和一般复数柱面函数

11.1.1 齐次解

11.1.2 求解程序

11.1.3 数值实验

11.2 柱面与环境换热的各向异性圆柱薄壳稳态热传导问题解

11.2.1 齐次解

11.2.2 求解程序

11.2.3 数值实验

第12章 各向异性圆柱薄壳非稳态热传导——参数复数柱面多项式与参数复数柱面函数

12.1 各向异性圆柱薄壳非稳态热传导控制方程求解

12.2 有限长各向异性圆柱壳两端给定温度值的非稳态热传导解

12.3 第一类复数柱面函数展开定理

第13章 球坐标各向同性热传导方程——实数幂级数方法和勒让德级数

13.1 引言

13.2 球坐标下的各向同性热传导方程

13.3 勒让德方程的实数幂级数解

13.4 勒让德多项式

13.5 勒让德多项式递推公式

13.6 勒让德多项式的正交性

13.7 傅立叶-勒让德级数

第14章 各向异性球带面稳态温度场方程——复数球多项式与复数球面函数

14.1 球坐标下的各向异性球面热传导控制偏微分方程

14.2 球Zis方程、复数球面函数、多项式及各向异性球面热传导解

14.2.1 球Zis方程、复数球面函数和复数球多项式

14.2.2 各向异性球面稳态热传导解

14.3 数值实验

14.4 复数球面函数展开法总结

14.5 复数球多项式系数递推公式

14.6 复数球面函数解实数化分析

第15章 球面与外界换热的各向异性球带面稳态温度场方程——参数复数球多项式与参数复数球面函数

15.1 球坐标下考虑球面换热的各向异性热传导偏微分方程

15.2 参数球Zis方程、参数复数球面函数、参数复数多项式及球面与环境换热球面热传导解

15.2.1 参数球Zis方程、参数复数球面函数和参数复数多项式

15.2.2 与环境换热的各向异性球面热传导解

15.3 数值实验

15.4 参数复数球多项式系数递推公式

15.5 参数复数球面函数解实数化分析

第16章 各向异性球带面稳态热传导方程——缔合复数球多项式与缔合复数球面函数

16.1 球坐标下的各向异性球面热传导控制偏微分方程

16.2 缔合球Zis方程、缔合复数球面函数、缔合复数球多项式及各向异性球面热传导解

16.2.1 缔合球Zis方程、缔合复数球面函数和缔合复数球多项式

16.2.2 各向异性球面稳态热传导缔合复数球面函数解

16.3 数值实验

16.4 各向异性球冠面稳态热传导与极点（极轴）绝热边界条件

16.5 缔合复数球面函数展开法总结

16.6 缔合复数球多项式系数递推公式

第17章 表面与外界换热的各向异性球带面稳态热传导方程——参数缔合复数球多项式与复数球面函数

17.1 球坐标下考虑球面换热的各向异性热传导偏微分方程

17.2 参数缔合球Zis方程、复数球面函数、复数球多项式及球面换热的各向异性球面热传导解

17.2.1 参数缔合球Zis方程、参数缔合复数球面函数和参数缔合复数球多项式

17.2.2 球面换热的各向异性球面热传导问题复数球面函数解

17.3 数值实验

17.4 参数缔合复数球多项式递推公式

第18章 各向异性薄圆锥壳热传导问题解析

18.1 概述

18.2 各向异性薄圆锥壳稳态热传导控制方程

18.3 一般解析解的建立

18.4 数值实验

18.5 复数级数解实数化证明

第19章 与外界换热的各向异性薄圆锥壳稳态热传导方程——变形复数球柱函数应用

19.1 概述

19.2 球坐标下各向异性稳态热传导方程

19.3 一般解析解

19.4 数值实验

第20章 各向异性薄圆锥壳非稳态热传导方程——复数球柱函数应用

20.1 球坐标下各向异性非稳态热传导方程

20.2 求解过程

20.2.1 齐次解

20.2.2 具有第一类边界条件的薄实心圆锥壳非稳态热传导解

20.3 数值实验

第21章 复数柱函数系列积分变换

21.1 复数柱函数变换

21.1.1 基本公式

21.1.2 复数柱函数变换性质

21.1.3 复数柱函数变换表

21.2 有限复数柱函数变换

21.2.1 基本公式

21.2.2 有限复数柱函数变换表

21.3 复数球柱函数变换

21.3.1 基本公式

21.3.2 复数球柱函数变换性质

21.4 有限复数球柱函数变换

21.5 变形复数柱函数变换

21.5.1 基本公式

21.5.2 变形复数柱函数变换性质

21.6 有限变形复数柱函数变换

21.7 变形复数球柱函数变换

21.7.1 基本公式

21.7.2 变形复数球柱函数变换性质

21.8 有限变形复数球柱函数变换

21.9 多重复数柱函数变换

21.9.1 二重复数柱函数变换基本公式

21.9.2 二重复数球柱函数变换基本公式

21.9.3 二重变形复数柱函数变换基本公式

21.9.4 二重变形复数球柱函数变换基本公式

21.9.5 三重复数柱函数变换基本公式

第22章 各向异性波动方程解析解

22.1 圆柱坐标系下二维各向异性波动方程

22.2 圆柱坐标系下三维各向异性波动方程

22.3 球坐标下下球膜二维各向异性波动方程

22.4 球坐标系下三维各向异性波动方程

22.5 极坐标系下圆薄膜二维各向异性波动方程

22.6 球坐标系下球膜二维各向异性波动方程的缔合复数球带面函数解

参考文献