第一篇 高等数学

第一章 函数 极限 连续

考点与要求

1 函数

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、求分段函数的复合函数

二、关于函数有界（无界）的讨论

2 极限

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

三、计算极限的一些有关方法

例题分析

一、求函数的极限

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限

三、含有｜x｜,e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限

四、无穷小的比较

五、数列的极限

六、极限运算定理的正确运用

3 函数的连续与间断

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、讨论函数的连续与间断

二、在连续条件下求参数

三、连续函数的零点问题

第二章 一元函数微分学

考点与要求

1 导数与微分，导数的计算

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、按定义求一点处的导数

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数

三、绝对值函数的导数

四、由极限式表示的函数的可导性

五、导数与微分、增量的关系

六、求导数的计算题

2 导数的应用

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式与方法

例题分析

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论

二、渐近线

三、曲率与曲率圆

四、最大值、最小值问题

3 中值定理、不等式与零点问题

内容精讲

一、重要定理

二、重要方法

例题分析

一、不等式的证明

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题

三、复合函数ψ（x,f（x），f′（x））的零点

四、复合函数ψ（x,f（x），f′（x），f″（x））的零点

五、“双中值”问题

六、零点的个数问题

七、证明存在某ξ满足某不等式

八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系

第三章 一元函数积分学

考点与要求

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、分段函数的不定积分与定积分

二、定积分与原函数的存在性

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分

2 不定积分与定积分的计算

内容精讲

一、基本积分公式

二、基本积分方法

例题分析

一、简单有理分式的积分

二、三角函数的有理分式的积分

三、简单无理式的积分

四、两种不同类型的函数相乘的积分

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分

七、含参变量带绝对值号的定积分

八、积分计算杂例

3 反常积分及其计算

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性

二、关于奇、偶函数的反常积分

4 定积分的应用

内容精讲

一、基本方法

二、重要几何公式与物理应用

例题分析

一、几何应用

二、物理应用

5 定积分的证明题

内容精讲

例题分析

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等

二、由积分定义的函数求极限

三、积分不等式的证明

四、零点问题

第四章 向量代数与空间解析几何

考点与要求

1 　向量代数

内容精讲

一、与向量有关的基本概念

二、向量的运算及性质

例题分析

一、向量的运算

二、向量运算的应用及向量的位置关系

2 平面与直线

内容精讲

一、平面方程

二、直线方程

三、平面与直线间的位置关系

例题分析

一、建立平面方程

二、建立直线方程

三、与平面和直线的位置关系有关的问题

3 空间曲面与曲线

内容精讲

一、旋转面及其方程

二、柱面及其方程

三、常见的二次曲面及图形

四、空间曲线及其方程

五、空间曲线的投影

例题分析

一、建立柱面方程

二、建立旋转面方程

三、建立空间曲线的投影曲线方程

第五章 多元函数微分学

考点与要求

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概念）

内容精讲

一、多元函数

二、二元函数的极限与连续

三、二元函数的偏导数与全微分

例题分析

一、讨论二重极限

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性

三、讨论二元函数的可微性

2 多元函数的微分法

内容精讲

一、复合函数的偏导数与全微分

二、隐函数的偏导数与全微分

例题分析

一、求复合函数的偏导数与全微分

二、求隐函数的偏导数与全微分

3 极值与最值

内容精讲

一、无条件极值

二、条件极值

例题分析

一、无条件极值问题

二、条件极值（最值）问题

三、多元函数的最大（小）值问题

4 方向导数与梯度多元微分在几何上的应用泰勒定理

内容精讲

一、方向导数

二、梯度

三、曲面的切平面与法线

四、曲线的切线和法平面

五、泰勒定理

例题分析

一、有关方向导数与梯度

二、有关曲面的切平面和曲线的切线

三、泰勒定理

第六章 多元函数积分学

考点与要求

1 重积分

内容精讲

一、二重积分

二、三重积分

例题分析

一、计算二重积分

二、累次积分交换次序及计算

三、与二重积分有关的综合题

四、与二重积分有关的积分不等式问题

五、计算三重积分

六、三重积分的累次积分

2 曲线积分

内容精讲

一、对弧长的线积分（第一类线积分）

二、对坐标的线积分（第二类线积分）

例题分析

一、对弧长的线积分（第一类线积分）

二、对坐标的线积分（第二类线积分）

3 曲面积分

内容精讲

一、对面积的面积分（第一类面积分）

二、对坐标的面积分（第二类面积分）

例题分析

一、对面积的面积分（第一类面积分）

二、对坐标的面积分（第二类面积分）

4 场论初步

内容精讲

一、梯度（详见第五章 第4节 之二）

二、通量

三、散度

四、旋度

例题分析

一、梯度、旋度、散度的计算

5 多元积分的应用

内容精讲

例题分析

一、几何应用

二、求物理量

第七章 无穷级数

考点与要求

1 常数项级数

内容精讲

一、级数的概念与性质

二、级数的判敛准则

例题分析

一、正项级数敛散性的判定

二、交错级数敛散性的判定

三、任意项级数敛散性判定

四、有关常数项级数的证明题与综合题

2 幂级数

内容精讲

一、函数项级数及收敛域与和函数

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域

三、幂级数的性质

四、函数的幂级数展开

例题分析

一、求幂级数的收敛域

二、将函数展开为幂级数

三、级数求和

3 傅里叶级数

内容精讲

一、三角函数及其正交性

二、傅里叶级数

三、收敛性定理

四、周期为2π的函数的傅里叶展开

五、周期为2l的函数的傅里叶展开

例题分析

一、有关收敛定理的问题

二、将函数展开为傅里叶级数

第八章 微分方程

考点与要求

1 微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法

内容精讲

一、定义

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法

例题分析

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题）

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题

三、积分方程化为微分方程求解

四、偏微分方程化为常微分方程求解

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解

2 二阶及高阶线性微分方程

内容精讲

一、定义

二、重要性质、定理、公式

例题分析

一、识别类型，对号入座，按类型求解

二、用变量代换解微分方程

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式

五、已知方程的解求方程

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系

七、欧拉方程求解

3 微分方程的应用

内容精讲

一、几何问题

二、变化率问题

三、牛顿第二定律或运动等问题

四、微元法建立微分方程

第二篇 线性代数

第一章 行列式

考点与要求

内容精讲

例题分析

一、数字型行列式的计算

二、抽象型行列式的计算

三、行列式｜A｜是否为零的判定

四、关于代数余子式求和

第二章 矩阵

考点与要求

内容精讲

1 矩阵的概念及运算

一、矩阵的概念

二、矩阵的运算

三、矩阵的运算规则

四、特殊矩阵

2 可逆矩阵

一、可逆矩阵的概念

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件

三、逆矩阵的运算性质

四、求逆矩阵的方法

3 初等变换、初等矩阵

一、定义

二、初等矩阵与初等变换的性质

4 矩阵的秩

一、矩阵秩的概念

二、矩阵秩的公式

5 分块矩阵

一、分块矩阵的概念

二、分块矩阵的运算

例题分析

一、矩阵的概念及运算

二、特殊方阵的幂

三、伴随矩阵的相关问题

四、可逆矩阵的相关问题

五、初等变换、初等矩阵

六、矩阵秩的计算

第三章 向量

考点与要求

内容精讲

1 n维向量的概念与运算

2 线性表出、线性相关

3 极大线性无关组、秩

4 Schmidt正交化、正交矩阵

5 向量空间

例题分析

一、线性相关的判别

二、向量的线性表示

三、线性相关与线性无关的证明

四、秩与极大线性无关组

五、正交化、正交矩阵

六、向量空间

第四章 线性方程组

考点与要求

内容精讲

1 克拉默法则

2 齐次线性方程组

3 非齐次线性方程组

例题分析

一、线性方程组的基本概念题

二、线性方程组的求解

三、基础解系

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系

六、两个方程组的公共解

七、同解方程组

八、线性方程组的有关杂题

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵

考点与要求

内容精讲

1 特征值、特征向量

一、特征值，特征向量

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵

三、特征值的性质

四、求特征值、特征向量的方法

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化

一、相似矩阵

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件

3 实对称矩阵的相似对角化

一、实对称阵

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤

例题分析

一、特征值，特征向量的求法

二、两个矩阵有相同的特征值的证明

三、关于特征向量

四、矩阵是否相似于对角阵的判别

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数

六、由特征值、特征向量反求A

七、矩阵相似及相似标准形

八、相似对角阵的应用

第六章 二次型

考点与要求

内容精讲

1 二次型的概念、矩阵表示

一、二次型概念

二、二次型的矩阵表示

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型

一、二次型的标准形，规范形

二、化二次型为标准形，规范形

三、合同矩阵，合同二次型

3 正定二次型、正定矩阵

例题分析

一、二次型的矩阵表示

二、化二次型为标准形

三、合同矩阵、合同二次型

四、正定性的判别

五、正定二次型的证明

六、综合杂题

第三篇 概率论与数理统计

第一章 随机事件和概率

考点与要求

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算

内容精讲

例题分析

2 概率、条件概率、独立性和五大公式

内容精讲

例题分析

3 古典概型与伯努利概型

内容精讲

例题分析

第二章 随机变量及其概率分布

考点与要求

1 随机变量及其分布函数

内容精讲

例题分析

2 离散型随机变量和连续型随机变量

内容精讲

例题分析

3 常用分布

内容精讲

例题分析

4 随机变量函数的分布

内容精讲

例题分析

第三章 多维随机变量及其分布

考点与要求

1 二维随机变量及其分布

内容精讲

例题分析

2 随机变量的独立性

内容精讲

例题分析

3 二维均匀分布和二维正态分布

内容精讲

例题分析

4 两个随机变量函数Z=g（X,Y）的分布

内容精讲

例题分析

第四章 随机变量的数字特征

考点与要求

1 随机变量的数学期望和方差

内容精讲

例题分析

2 矩、协方差和相关系数

内容精讲

例题分析

第五章 大数定律和中心极限定理

考点与要求

内容精讲

例题分析

第六章 数理统计的基本概念

考点与要求

1 总体、样本、统计量和样本数字特征

内容精讲

例题分析

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布

内容精讲

例题分析

第七章 参数估计

考点与要求

1 点估计

内容精讲

例题分析

2 估计量的求法和区间估计

内容精讲

例题分析

第八章 假设检验

考点与要求

内容精讲

例题分析