第一部分 代数理论

第1章 代数数域和代数整数环

1.1 代数数域

1.1.1 单扩张定理

1.1.2 数域的嵌入

1.1.3 范与迹

1.1.4 元素的判别式

1.1.5 单位根

习题

1.2 代数整数环

1.2.1 代数整数

1.2.2 代数整数环

1.2.3 整基，数域的判别式

习题

第2章 整数环中的素理想分解

2.1 分解的存在唯一性

2.1.1 Dedekind整环

2.1.2 整数环OK是Dedekind整环

2.1.3 分式理想，理想的范

习题

2.2 分歧指数，剩余类域次数和分裂次数

2.2.1 e,f,g

2.2.2 素理想分解和多项式分解

2.2.3 应用：素数在二次域中的分解，二平方和定理

2.2.4 判别式定理

2.2.5 应用：纯三次域的整基

习题

2.3 伽罗瓦扩域中的素理想分解

2.3.1 n=efg

2.3.2 分解群和惯性群

2.3.3 Frobenius自同构

2.3.4 素数在分圆域中的分解

习题

2.4 Kronecker-Weber定理

2.4.1 二次域是分圆域的子域

2.4.2 分歧群和分歧域

2.4.3 Kronecker-Weber定理

2.4.4 Abel数域的导子和互反律

习题

第3章 理想类群和单位群

3.1 类群和类数

3.1.1 Rn中的格，Minkowski定理

3.1.2 类数有限性定理

习题

3.2 Dirichlet单位定理

3.2.1 Dirichlet单位定理

3.2.2 实二次域的基本单位，Pell方程

3.2.3 其他例子

3.2.4 关于费马猜想的Kummer定理

习题

第二部分 解析理论

第4章 ζ（s），L（s,x）和ζK（s）

4.1 Dirichlet级数的一般理论

4.1.1 Dirichlet级数环——形式化理论

4.1.2 收敛横坐标——解析工具的引入

习题

4.2 Riemann zeta函数ζ（s）和Dirichlet L函数L（s,x）

4.2.1 ζ（s）的函数方程，Riemann猜想

4.2.2 有限Abel群的特征

4.2.3 Dirichlet L函数

4.2.4 Dirichlet级数在负整数处的值，Bernoulli数

习题

4.3 Dedekind zeta函数ζK（s）

4.3.1 留数公式

4.3.2 ζK（s）的函数方程

习题

第5章 密度问题

5.1 素数定理和素理想定理

5.1.1 素数定理

5.1.2 算术级数中的素数定理

5.1.3 素理想定理

5.2 密度定理及其应用

5.2.1 Dirichlet密度

5.2.2 素理想的分裂和多项式的分裂

5.2.3 Abel L-函数，Чеботарёв密度定理

习题

第6章 Abel数域的类数公式

6.1 Hasse类数公式

6.2 二次域的类数公式

6.3 分圆域的类数公式，Kummer结果

习题

附录A 进一步阅读的参考书

附录B 关于群、环、域的一些知识

附录C 我怎样走向学习代数数论之路

附录D 南开忆往