第一章 绪论

1.1反常扩散的定义

1.2自然界和工程中的反常扩散现象

1.3研究历史与现状

1.3.1反常扩散建模与应用

1.3.2反常扩散的数值模拟方法

第二章 反常扩散建模概述

2.1反常扩散物理基础

2.2非线性扩散模型

2.2.1非线性模型Ⅰ

2.2.2非线性模型Ⅱ

2.3变系数扩散模型

2.3.1考虑扩散系数时间依赖性的模型

2.3.2考虑边界条件时间依赖性的模型

2.4随机行走模型

2.5分数阶扩散模型

第三章 分数阶扩散模型基础

3.1分数阶导数与分形导数

3.1.1分数阶微积分的定义

3.1.2分数阶微积分的性质

3.1.3变阶与随机阶积分和导数的定义、分形导数定义

3.1.4分形导数的定义

3.2分数阶Fick定律、微分方程模型及其统计表示

3.3多尺度反常扩散建模

3.3.1分布式导数扩散模型

3.3.2数值算例与讨论

3.4分数阶导数模型与分形导数模型的比较

3.4.1理论分析

3.4.2数值算例

3.4.3小结

第四章 变导数反常扩散模型

4.1变导数研究简介

4.2变导数反常扩散模型的分类与应用分析

4.2.1时间依赖形式的变导数模型

4.2.2空间依赖形式的变导数模型

4.2.3浓度依赖形式的变导数模型

4.2.4系统参数依赖形式的变导数模型

4.2.5变导数反常扩散模型的统计特征

4.2.6讨论

4.3模糊系统观点

4.3.1问题的提出

4.3.2模糊分数阶系统

4.3.3算例分析

4.4随机导数模型

4.4.1研究意义

4.4.2随机导数耗散模型

4.4.3随机导数反常扩散模型

4.4.4随机导数模型的统计特性及其应用

4.4.5讨论

第五章 分数阶导数方程模型的反问题

5.1反问题简述

5.1.1反问题的求解

5.1.2分数阶导数方程的五类反问题

5.1.3小结

5.2参数反问题

5.2.1 Levenberg-Marquardt算法求解

5.2.2参数反演问题的同伦算法

5.2.3数值算例

5.2.4小结

5.3最佳摄动法求解源项反问题

5.3.1源项反问题

5.3.2最佳摄动量法

5.3.3数值算例

第六章 分数阶反常扩散方程的计算方法

6.1分数阶反常扩散方程的算法简介

6.2一些分数阶反常扩散方程的解析解

6.2.1 Mittag-Leffler函数简介

6.2.2分数阶耗散模型的解析解

6.2.3分数阶扩散模型的解析解

6.3时间分数阶反常扩散方程的有限差分算法

6.4基于有限单元法的时间分数阶反常扩散方程半解析算法

6.4.1算法框架

6.4.2数值算例

6.4.3讨论

6.4.4小结

6.5空间分数阶反常扩散方程的有限单元法

6.5.1模型描述

6.5.2变分形式

6.5.3有限元求解

6.5.4 数值算例

6.5.5问题与讨论

6.5.6附录

第七章 反常扩散的非常规统计建模方法

7.1 Levy稳定分布

7.1.1 Levy稳定分布的特征函数

7.1.2 Levy稳定分布的密度函数和稳定分布函数

7.1.3 Levy稳定分布的随机数

7.1.4 Levy稳定分布的参数估计

7.2扩展Gaussian分布

7.3 Tsallis分布

7.3.1 Tsallis熵的引入

7.3.2 Tsallis熵的非广延性

7.3.3 Tsallis熵与广义微分算子的关系

7.3.4 Tsallis分布

7.4 Mittag-Leffler分布

7.4.1 Mittag-Leffler函数

7.4.2单参数的Mittag-Leffler分布

7.4.3双参数的Mittag-Leffler分布

7.4.4 Mittag-Leffler随机数的生成

7.5 Levy稳定分布Matlab工具箱

7.5.1建模功能模块

7.5.2图形界面功能模块

第八章 随机行走模型

8.1连续时间随机行走模型

8.1.1连续随机行走模型理论基础

8.1.2随机行走模型的蒙特卡洛模拟

8.2分形结构介质中的反常扩散

8.2.1研究背景

8.2.2分形介质扩散基本概念

8.2.3分形结构构造

8.2.4分形结构中的随机行走

8.2.5 分形结构中的随机行走模型参数确定

第九章 流体力学和水文中的反常扩散

9.1分数阶扩散模型在地下含水层溶质迁移过程模拟中的应用

9.2水工建筑物混凝土氯离子侵蚀

9.2.1混凝土中氯离子扩散模型

9.2.2时间分数阶扩散方程中的参数获得

9.2.3结果与讨论

9.2.4小结

9.3分形导数Richards模型在非饱和土壤水分运移过程研究中的应用

9.3.1模型描述

9.3.2讨论

9.3.3小结

9.4分数阶扩散模型在水流含沙量垂向分布研究中的应用

9.4.1模型描述

9.4.2实验数据分析

9.4.3讨论

第十章 反常扩散在其他领域中的应用

10.1量子物理中的反常扩散

10.1.1薛定谔方程

10.1.2空间分数阶薛定谔方程

10.1.3时间分数阶薛定谔方程

10.1.4分数阶薛定谔方程的相关变换

10.1.5国内外其他研究进展

10.2生物流体力学中的反常扩散现象

10.2.1生物渗流力学中的反常扩散

10.2.2心肌细胞内钙火花反常扩散

10.2.3药物控释反常扩散

10.2.4多孔介质干燥过程中湿分的反常扩散

10.3复杂介质中的反常热传导过程分析

10.3.1非傅里叶热传导

10.3.2多孔介质中传热传质现象

第十一章 结论与展望

11.1结论

11.2研究展望

参考文献