第1章 数值计算中的误差

1.1误差来源

1.2误差、误差限及有效数字

1.3误差在计算过程中的传播

1.3.1误差在函数值计算过程中的传播

1.3.2误差在四则运算中的传播

1.4计算方法的数值稳定性

1.5秦九韶算法

1.5.1秦九韶算法基本思想

1.5.2秦九韶算法及其实现

习题1

第2章 解线性方程组的直接方法

2.1线性代数基本知识

2.1.1向量、矩阵的范数及其性质

2.1.2扰动理论基础

2.2线性方程组的直接解法

2.2.1 Gauss消去法

2.2.2列选主元素Gauss消去法

2.2.3完全选主元素Gauss消去法

2.2.4 Gauss-Jordan消去法

2.2.5矩阵的三角分解

2.3特殊矩阵的直接解法

2.3.1平方根方法

2.3.2追赶法

2.4线性方程组直接解法的误差分析

习题2

第3章 解线性方程组的迭代法

3.1迭代法的理论基础

3.2简单迭代法

3.2.1 Jacobi迭代

3.2.2 Gauss-Seidel迭代

3.2.3逐次超松弛迭代法（SOR方法）

3.3解线性方程组的共轭梯度法

习题3

第4章 代数插值

4.1引言

4.2多项式插值

4.2.1插值多项式的存在唯一性

4.2.2 Lagrange插值

4.2.3 Newton插值

4.3差分与等距节点插值公式

4.4 Hermite插值

4.5分段低次插值

4.5.1分段线性插值

4.5.2分段三次Hermite插值

4.6三次样条插值

4.7多项式插值算法实现及其应用实例

习题4

第5章 函数逼近与曲线拟合

5.1引言与预备知识

5.2最佳一致逼近

5.2.1一致逼近多项式

5.2.2最佳一致逼近多项式

5.2.3 Remez算法与Chebyshev插值

5.3最佳平方逼近

5.3.1连续函数所构成的内积空间

5.3.2函数的最佳平方逼近

5.4正交多项式

5.4.1线性无关函数族的Schimidt正交化

5.4.2勒让德（Legendre）多项式

5.4.3 Chebyshev多项式

5.4.4其他常用的正交多项式

5.5函数按正交多项式展开

5.5.1用正交多项式构造连续函数的最佳平方逼近多项式的一般方法

5.5.2用Legendre多项式构造连续函数的最佳平方逼近多项式

5.5.3用三角多项式构造周期函数的最佳平方逼近多项式

5.6离散数据集的最佳平方逼近

5.6.1曲线拟合的最小二乘方法

5.6.2用正交函数作最小二乘拟合

5.7离散Fourier变换（DFT）与快速Fourier变换算法（FFT）

5.7.1离散Fourier变换（DFT）

5.7.2快速Fourier变换（FFT）

习题5

第6章 数值积分与数值微分

6.1数值求积的基本思想

6.2机械求积公式与代数精度

6.2.l机械求积公式

6.2.2插值型的求积公式

6.3 Newton-Cotes公式

6.3.1 Cotes系数

6.3.2几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项

6.4复化求积公式及其收敛性

6.4.1复化梯形求积公式

6.4.2复化Simpson求积公式

6.4.3复化Newton-Cotes求积公式

6.5 Romberg算法

6.5.1梯形法的递推化

6.5.2 Richardson外推算法

6.5.3 Romberg求积公式

6.6 Gauss求积公式

6.6.1 Gauss点

6.6.2 Gauss-Legendre求积公式

6.6.3带权的Gauss求积公式

6.7数值微分

6.7.1插值型的求导公式

6.7.2样条求导

习题6

第7章 常微分方程数值解

7.1引言

7.2 Euler方法

7.2.1 Euler格式

7.2.2后退的Euler格式

7.2.3 Euler两步格式

7.3 Runge-Kutta方法

7.3.1二阶Runge-Kutta方法

7.3.2四阶Runge-Kutta方法

7.3.3变步长的Runge-Kutta方法

7.4单步法的收敛性与稳定性

7.4.1单步法的收敛性

7.4.2单步法的稳定性

7.5线性多步法

7.5.1基于数值积分的常微分方程数值方法

7.5.2基于Taylor展开的构造方法

7.6方程组与高阶方程的情形

7.6.1一阶方程组

7.6.2化高阶方程组为一阶方程组

7.7边值问题的数值解法

7.7.1差分方程的可解性

7.7.2差分方法的收敛性

习题7

第8章 非线性方程求解

8.1根的搜索

8.1.1逐步搜索法

8.1.2二分法

8.2迭代法

8.2.1迭代过程的收敛性

8.2.2迭代公式的加速

8.3牛顿迭代法

8.3.1牛顿迭代公式

8.3.2 Newton迭代法的局部收敛性

8.3.3 Newton迭代法应用举例

8.3.4 Newton下山法

8.4弦截法与抛物线法

8.4.1弦截法

8.4.2抛物线法

8.5代数方程求根

8.5.1求多项式单根的Newton迭代法

8.5.2多项式根模的界与实根隔离

8.5.3多项式复根的计算

习题8

第9章 矩阵特征值问题

9.1特征值的概念以及一般理论

9.1.1矩阵特征值、特征向量及特征多项式

9.1.2简单矩阵的特征值与特征向量

9.2矩阵的正交分解与相似变换

9.2.1 Givens变换

9.2.2 Householder变换

9.2.3 矩阵的QR分解

9.2.4矩阵的相似变换

9.3求矩阵特征值的迭代方法

9.3.1求矩阵最大特征值的幂法

9.3.2反幂法

9.3.3降阶法

9.3.4正交迭代

9.3.5求非对称矩阵全部特征值的QR方法

习题9

参考文献