第1章 绪论

1.1 计算机数值方法概述

1.1.1 数值计算方法的概念与任务

1.1.2 数值计算问题的解题过程与步骤

1.1.3 本课程的内容与数值算法的特点

1.2 误差、有效数字与机器数系

1.2.1 误差的概念与来源

1.2.2 有效数字与机器数系

1.2.3 舍入误差的产生

1.3 误差传播与防范

1.3.1 误差的传播

1.3.2 防止“大数吃小数”

1.3.3 避免绝对值相近的数作减法

1.3.4 避免0或接近0的数作除数

1.3.5 避免绝对值很大的数作乘数

1.3.6 简化计算公式，减少计算量

1.3.7 设计稳定的算法

1.3.8 精度丢失定理

习题1

第2章 插值法

2.1 插值问题

2.1.1 基本概念

2.1.2 插值多项式的存在唯一性

2.2 拉格朗日（Lagrange）插值

2.2.1 Lagrange插值多项式

2.2.2 插值余项

2.3 差商与牛顿（Newton）插值

2.3.1 差商的定义和性质

2.3.2 Newton插值公式

2.4 差分与等距节点插值

2.4.1 差分及其性质

2.4.2 等距节点插值公式

2.5 埃尔米特（Hermite）插值

2.6 三次样条插值

2.6.1 多项式插值的缺陷与分段插值

2.6.2 三次样条插值函数

2.6.3 三次样条插值函数的构造方法

2.6.4 两点说明

习题2

第3章 线性方程组的直接解法

3.1 引言

3.2 Gauss消元法

3.2.1 三角形方程组的解法

3.2.2 预备知识

3.2.3 Gauss消元法

3.2.4 Gauss消元法的计算量

3.2.5 Gauss消元法的条件

3.2.6 列主元消元法

3.2.7 全主元消元法

3.3 Gauss-Jordan消元法与矩阵求逆

3.3.1 Gauss-Jordan消元法

3.3.2 用Gauss-Jordan消元法求逆矩阵

3.4 矩阵分解

3.4.1 Gauss消元法的矩阵解释

3.4.2 Doolittle分解

3.4.3 方程组的求解举例

3.4.4 正定阵的Doolittle分解

3.4.5 Cholesky分解与平方根法

3.4.6 LDLT分解与改进的平方根法

3.4.7 带列主元的三角分解

3.5 追赶法

3.6 向量范数

3.6.1 向量范数定义

3.6.2 向量范数等价性与一致连续性

3.7 矩阵范数

3.7.1 方阵的范数

3.7.2 m×n阶矩阵的范数

3.8 条件数与方程组的误差分析

3.8.1 病态方程组与条件数

3.8.2 方程组的摄动分析

3.8.3 Gauss消元法的浮点误差分析

3.8.4 方程组的病态检测与改善

习题3

第4章 方程求根

4.1 方程根的存在、唯一性与有根区间

4.1.1 方程根的存在与唯一性

4.1.2 有根区间的确定方法

4.2 二分法

4.3 Picard迭代法与收敛性

4.3.1 Picard迭代格式的收敛性

4.3.2 Picard迭代法敛散性的几何解释

4.3.3 Picard迭代法的局部收敛性和误差估计

4.3.4 Picard迭代的收敛速度与渐近误差估计

4.4 Newton-Raphson迭代法

4.4.1 Newton-Raphson迭代法的构造

4.4.2 Newton法的大范围收敛性

4.4.3 Newton法的局部收敛性

4.4.4 Newton法的改进

4.4.5 求非线性方程组的Newton法

4.5 割线法

4.6 代数方程求根

4.6.1 秦九韶算法

4.6.2 秦九韶算法在导数求值中的应用

4.6.3 代数方程的Newton法

4.6.4 劈因子法

4.7 加速方法

4.7.1 Aitken加速法

4.7.2 Steffensen迭代法

4.7.3 其他加速技巧

习题4

第5章 线性方程组的迭代解法

5.1 迭代法的构造

5.1.1 Jacobi迭代法的构造

5.1.2 Gauss-Seidel迭代法的构造

5.2 迭代法的收敛性

5.2.1 一阶定常迭代法的收敛性

5.2.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛性的判定

5.2.3 迭代法的收敛速度

5.3 逐次超松弛迭代法（SOR方法）

5.3.1 SOR迭代的构造

5.3.2 SOR方法的收敛性

5.3.3 相容次序与最佳松弛因子的选择

习题5

第6章 近似理论

6.1 矩阵的广义逆

6.1.1 Moore-Penrose广义逆

6.1.2 广义逆的性质

6.2 方程组的最小二乘解

6.2.1 方程组的最小二乘解

6.2.2 方程组的极小最小二乘解

6.3 矩阵的正交分解与方程组的最小二乘解

6.3.1 Gram-Schmidt正交化方法

6.3.2 矩阵正交分解在求极小最小二乘解中的应用

6.3.3 Householder变换

6.3.4 Householder变换在矩阵正交分解中的应用

6.4 矩阵的奇异值分解

6.5 数据拟合

6.6 正交多项式

6.6.1 正交多项式的概念与性质

6.6.2 Chebyshev多项式

6.6.3 Chebyshev正交多项式的应用

6.6.4 其他正交多项式

6.7 线性最小二乘问题

6.8 正交多项式在数据拟合中的应用

6.9 函数逼近

6.9.1 最佳平方逼近

6.9.2 最佳一致逼近

习题6

第7章 数值积分与数值微分

7.1 插值型数值积分公式

7.1.1 中矩形公式和梯形公式

7.1.2 插值型求积公式

7.1.3 求积公式的代数精确度

7.2 Newton-Cotes（牛顿-科茨）型求积公式

7.2.1 Newton-Cotes型求积公式的导出

7.2.2 几种低阶求积公式的余项

7.3 复化求积法

7.4 龙贝格（Romberg）算法

7.4.1 区间逐次二分法

7.4.2 复化求积公式的阶

7.4.3 Romberg算法

7.5 Gauss（高斯）型求积公式

7.5.1 基本概念

7.5.2 Gauss点

7.5.3 Gauss-Legendre（高斯-勒让德）公式

7.5.4 稳定性和收敛性

7.5.5 带权Gauss公式

7.6 数值微分

7.6.1 插值型求导公式

7.6.2 三次样条插值求导

习题7

第8章 常微分方程数值解法

8.1 常微分方程初值问题

8.1.1 常微分方程（组）初值问题的提法与解的存在性

8.1.2 常微分方程的离散化

8.1.3 基本概念

8.1.4 Euler显式格式的几何解释

8.1.5 误差与差分格式的阶

8.2 Runge-Kutta（龙格-库塔）法

8.2.1 Runge-Kutta法的基本思想

8.2.2 四级四阶Runge-Kutta法

8.2.3 步长的选取

8.3 单步法的收敛性和稳定性

8.3.1 收敛性的概念

8.3.2 Euler显式格式的收敛性

8.3.3 一般单步法的收敛性

8.3.4 单步法的稳定性

8.4 线性多步法

8.4.1 Adams外推法

8.4.2 Adams内插法

8.4.3 Adams预报-校正格式

8.5 常微分方程组与边值问题的数值解法

8.5.1 一阶方程组

8.5.2 高阶方程的初值问题

8.5.3 边值问题的差分解法

习题8

第9章 矩阵特征值与特征向量的幂法计算

9.1 幂法

9.1.1 幂法

9.1.2 规范化幂法

9.2 幂法的加速与反幂法

9.2.1 原点平移法

9.2.2 Rayleigh商加速法

9.2.3 反幂法

9.3 实对称矩阵的Jacobi（雅可比）方法

9.3.1 预备知识

9.3.2 Givens平面旋转变换与二阶方阵的对角化

9.3.3 实对称矩阵的Jacobi方法

9.3.4 Jacobi方法的收敛性

9.3.5 Jacobi过关法

9.4 QR方法

9.4.1 基本的QR方法

9.4.2 带原点平移的QR方法

习题9

第10章 线性规划

10.1 线性规划问题与其对偶问题

10.1.1 线性规划模型

10.1.2 对偶

10.2 线性规划的基本定理

10.2.1 LP问题可行域

10.2.2 LP问题的解

10.2.3 线性规划的基本定理

10.2.4 图解法

10.3 单纯形法

10.3.1 单纯形法

10.3.2 初始可行解的确定

10.4 矛盾方程组的近似解

10.4.1 e1-问题

10.4.2 e∞-问题

习题10

参考文献

附录 上机实习课题

1.1 误差分析与控制

1.2 插值问题

1.3 矩阵条件数的估计

1.4 方程求根

1.5 线性方程组求解

1.6 曲线拟合问题

1.7 数值积分

1.8 常微分方程初（边）值问题

1.9 矩阵的特征值与特征向量

1.10 线性规划